Trigonometrie Beispiele

$\sin (2 x - \frac{π}{2}) = - 1$

Schritt 1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$2 x - \frac{π}{2} = \arcsin (- 1)$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Der genau Wert von $\arcsin (- 1)$ ist $- \frac{π}{2}$ .

$2 x - \frac{π}{2} = - \frac{π}{2}$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Addiere $\frac{π}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - \frac{π}{2} + \frac{π}{2}$

Schritt 3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x = \frac{- π + π}{2}$

Schritt 3.3

Addiere $- π$ und $π$ .

$2 x = \frac{0}{2}$

Schritt 3.4

Dividiere $0$ durch $2$ .

$2 x = 0$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$x = 0$

Schritt 5

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$2 x - \frac{π}{2} = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 6.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$2 x - \frac{π}{2} = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Schritt 6.2

Der resultierende Winkel von $\frac{3 π}{2}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$2 x - \frac{π}{2} = \frac{3 π}{2}$

Schritt 6.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.1.1

Addiere $\frac{π}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = \frac{3 π}{2} + \frac{π}{2}$

Schritt 6.3.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x = \frac{3 π + π}{2}$

Schritt 6.3.1.3

Addiere $3 π$ und $π$ .

$2 x = \frac{4 π}{2}$

Schritt 6.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 6.3.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4 π$ heraus.

$2 x = \frac{2 (2 π)}{2}$

Schritt 6.3.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$2 x = \frac{2 (2 π)}{2 (1)}$

Schritt 6.3.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x = \frac{2 (2 π)}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 x = \frac{2 π}{1}$

Schritt 6.3.1.4.2.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 x = 2 π$

Schritt 6.3.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 2 π$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 2 π$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2 π}{2}$

Schritt 6.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2 π}{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2 π}{2}$

Schritt 6.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 π}{2}$

Schritt 6.3.2.3.1.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$x = π$

Schritt 7

Ermittele die Periode von $\sin (2 x - \frac{π}{2})$ .

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Schritt 7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Schritt 7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 7.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 8

Die Periode der Funktion $\sin (2 x - \frac{π}{2})$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = π n, π + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = π n$ , für jede ganze Zahl $n$