Trigonometrie Beispiele

$\sin (2 x) = \cos (3 x)$

Schritt 1

Subtrahiere $\cos (3 x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sin (2 x) - \cos (3 x) = 0$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$2 \sin (x) \cos (x) - \cos (3 x) = 0$

Schritt 2.2

Benutze die Dreifachwinkelfunktion, um $\cos (3 x)$ in $4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)$ umzuformen.

$2 \sin (x) \cos (x) - (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)) = 0$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \sin (x) \cos (x) - (4 \cos^{3} (x)) - (- 3 \cos (x)) = 0$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 4 \cos^{3} (x) - (- 3 \cos (x)) = 0$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 4 \cos^{3} (x) + 3 \cos (x) = 0$

Schritt 3

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $2 \sin (x) \cos (x) - 4 \cos^{3} (x) + 3 \cos (x)$ heraus.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $2 \sin (x) \cos (x)$ heraus.

$\cos (x) (2 \sin (x)) - 4 \cos^{3} (x) + 3 \cos (x) = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $- 4 \cos^{3} (x)$ heraus.

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) (- 4 \cos^{2} (x)) + 3 \cos (x) = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $3 \cos (x)$ heraus.

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) (- 4 \cos^{2} (x)) + \cos (x) \cdot 3 = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) (- 4 \cos^{2} (x))$ heraus.

$\cos (x) (2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x)) + \cos (x) \cdot 3 = 0$

Schritt 3.5

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos (x) (2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x)) + \cos (x) \cdot 3$ heraus.

$\cos (x) (2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\cos (x) = 0$

$2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3 = 0$

Schritt 5

Setze $\cos (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $\cos (x)$ gleich $0$ .

$\cos (x) = 0$

Schritt 5.2

Löse $\cos (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (0)$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 5.2.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 5.2.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 5.2.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.2.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 5.2.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 5.2.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.4.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 5.2.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 5.2.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 5.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 5.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 5.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 5.2.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 5.2.6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 6

Setze $2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3$ gleich $0$ .

$2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3 = 0$

Schritt 6.2

Löse $2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Ersetze die $- 4 \cos^{2} (x)$ durch $- 4 (1 - \sin^{2} (x))$ basierend auf der $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ -Identitätsgleichung.

$2 \sin (x) - 4 (1 - \sin^{2} (x)) + 3 = 0$

Schritt 6.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \sin (x) - 4 \cdot 1 - 4 (- \sin^{2} (x)) + 3 = 0$

Schritt 6.2.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$2 \sin (x) - 4 - 4 (- \sin^{2} (x)) + 3 = 0$

Schritt 6.2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$2 \sin (x) - 4 + 4 \sin^{2} (x) + 3 = 0$

Schritt 6.2.3

Addiere $- 4$ und $3$ .

$2 \sin (x) + 4 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Schritt 6.2.4

Stelle das Polynom um.

$4 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 1 = 0$

Schritt 6.2.5

Ersetze $\sin (x)$ durch $u$ .

$4 {(u)}^{2} + 2 (u) - 1 = 0$

Schritt 6.2.6

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6.2.7

Setze die Werte $a = 4$ , $b = 2$ und $c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 1)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.2.8

Vereinfache.

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Schritt 6.2.8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.8.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.2.8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

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Schritt 6.2.8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.2.8.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 1$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.2.8.1.3

Addiere $4$ und $16$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.2.8.1.4

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 6.2.8.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.2.8.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.2.8.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.2.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$

Schritt 6.2.8.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{4}$

Schritt 6.2.9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = - \frac{1 - \sqrt{5}}{4}, - \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$

Schritt 6.2.10

Ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{5}}{4}, - \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$

Schritt 6.2.11

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

$\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$

Schritt 6.2.12

Löse in $\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.12.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- \frac{1 - \sqrt{5}}{4})$

Schritt 6.2.12.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.12.2.1

Berechne $\arcsin (- \frac{1 - \sqrt{5}}{4})$ .

$x = \frac{π}{10}$

Schritt 6.2.12.3

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{10} + π$

Schritt 6.2.12.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 6.2.12.4.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π - \frac{π}{10} + π$ .

$x = 2 π - \frac{π}{10} + π - 2 π$

Schritt 6.2.12.4.2

Der resultierende Winkel von $\frac{9 π}{10}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π - \frac{π}{10} + π$ .

$x = \frac{9 π}{10}$

Schritt 6.2.12.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 6.2.12.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.2.12.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 6.2.12.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 6.2.12.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 6.2.12.6

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{10} + 2 π n, \frac{9 π}{10} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 6.2.13

Löse in $\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.13.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- \frac{1 + \sqrt{5}}{4})$

Schritt 6.2.13.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.13.2.1

Berechne $\arcsin (- \frac{1 + \sqrt{5}}{4})$ .

$x = - \frac{3 π}{10}$

Schritt 6.2.13.3

$x = 2 π + \frac{3 π}{10} + π$

Schritt 6.2.13.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 6.2.13.4.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{3 π}{10} + π$ .

$x = 2 π + \frac{3 π}{10} + π - 2 π$

Schritt 6.2.13.4.2

Der resultierende Winkel von $\frac{13 π}{10}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{3 π}{10} + π$ .

$x = \frac{13 π}{10}$

Schritt 6.2.13.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 6.2.13.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.2.13.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 6.2.13.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 6.2.13.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 6.2.13.6

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 6.2.13.6.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{3 π}{10}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{3 π}{10} + 2 π$

Schritt 6.2.13.6.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{10}{10}$ .

$2 π \cdot \frac{10}{10} - \frac{3 π}{10}$

Schritt 6.2.13.6.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.2.13.6.3.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{10}{10}$ .

$\frac{2 π \cdot 10}{10} - \frac{3 π}{10}$

Schritt 6.2.13.6.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 10 - 3 π}{10}$

Schritt 6.2.13.6.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.13.6.4.1

Mutltipliziere $10$ mit $2$ .

$\frac{20 π - 3 π}{10}$

Schritt 6.2.13.6.4.2

Subtrahiere $3 π$ von $20 π$ .

$\frac{17 π}{10}$

Schritt 6.2.13.6.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{17 π}{10}$

Schritt 6.2.13.7

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{13 π}{10} + 2 π n, \frac{17 π}{10} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 6.2.14

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{π}{10} + 2 π n, \frac{9 π}{10} + 2 π n, \frac{13 π}{10} + 2 π n, \frac{17 π}{10} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $\cos (x) (2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{10} + 2 π n, \frac{9 π}{10} + 2 π n, \frac{13 π}{10} + 2 π n, \frac{17 π}{10} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 8

Führe $\frac{π}{2} + 2 π n$ und $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ zu $\frac{π}{2} + π n$ zusammen.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{10} + 2 π n, \frac{9 π}{10} + 2 π n, \frac{13 π}{10} + 2 π n, \frac{17 π}{10} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$