Trigonometrie Beispiele

$\sin (\frac{x}{2}) = \cos (\frac{x}{2})$

Schritt 1

Teile jeden Term in der Gleichung durch $\cos (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})} = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}$

Schritt 2

Wandle von $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}$ nach $\tan (\frac{x}{2})$ um.

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (\frac{x}{2})$ .

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}$

Schritt 3.2

Forme den Ausdruck um.

$\tan (\frac{x}{2}) = 1$

Schritt 4

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$\frac{x}{2} = \arctan (1)$

Schritt 5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1

Der genau Wert von $\arctan (1)$ ist $\frac{π}{4}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{4}$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{4}$

Schritt 7

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 7.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{4}$

Schritt 7.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 \frac{π}{4}$

Schritt 7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Schritt 7.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 8

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$\frac{x}{2} = π + \frac{π}{4}$

Schritt 9

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (π + \frac{π}{4})$

Schritt 9.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 9.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π + \frac{π}{4})$

Schritt 9.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 (π + \frac{π}{4})$

Schritt 9.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.2.2.1

Vereinfache $2 (π + \frac{π}{4})$ .

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Schritt 9.2.2.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 (π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4})$

Schritt 9.2.2.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 9.2.2.1.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 (\frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4})$

Schritt 9.2.2.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = 2 \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Schritt 9.2.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.2.2.1.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = 2 \frac{π \cdot 4 + π}{2 (2)}$

Schritt 9.2.2.1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2 \frac{π \cdot 4 + π}{2 \cdot 2}$

Schritt 9.2.2.1.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{2}$

Schritt 9.2.2.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.2.2.1.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{2}$

Schritt 9.2.2.1.3.2

Addiere $4 π$ und $π$ .

$x = \frac{5 π}{2}$

Schritt 10

Ermittele die Periode von $\tan (\frac{x}{2})$ .

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Schritt 10.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 10.2

Ersetze $b$ durch $\frac{1}{2}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| \frac{1}{2} |}$

Schritt 10.3

$\frac{1}{2}$ ist ungefähr $0.5$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{π}{\frac{1}{2}}$

Schritt 10.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$π \cdot 2$

Schritt 10.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$2 π$

Schritt 11

Die Periode der Funktion $\tan (\frac{x}{2})$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{5 π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 12

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$