Trigonometrie Beispiele

$\sin (x) \cos (x) = \cot (x)$

Schritt 1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\sin (x) \cos (x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\sin (x)$ .

$\sin (x) (\sin (x) \cos (x)) = \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3

Multipliziere $\sin (x) (\sin (x) \cos (x))$ .

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Schritt 3.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin (x) \cos (x) = \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) \cos (x) = \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${\sin (x)}^{1 + 1} \cos (x) = \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin^{2} (x) \cos (x) = \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin^{2} (x) \cos (x) = \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin^{2} (x) \cos (x) = \cos (x)$

Schritt 5

Subtrahiere $\cos (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sin^{2} (x) \cos (x) - \cos (x) = 0$

Schritt 6

Vereinfache $\sin^{2} (x) \cos (x) - \cos (x)$ .

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Schritt 6.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\sin^{2} (x) \cos (x) - \cos (x)$ heraus.

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\sin^{2} (x) \cos (x)$ heraus.

$\cos (x) \sin^{2} (x) - \cos (x) = 0$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $- \cos (x)$ heraus.

$\cos (x) \sin^{2} (x) + \cos (x) \cdot - 1 = 0$

Schritt 6.1.3

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos (x) \sin^{2} (x) + \cos (x) \cdot - 1$ heraus.

$\cos (x) (\sin^{2} (x) - 1) = 0$

Schritt 6.2

Stelle $\sin^{2} (x)$ und $- 1$ um.

$\cos (x) (- 1 + \sin^{2} (x)) = 0$

Schritt 6.3

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\cos (x) (- 1 (1) + \sin^{2} (x)) = 0$

Schritt 6.4

Faktorisiere $- 1$ aus $\sin^{2} (x)$ heraus.

$\cos (x) (- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))) = 0$

Schritt 6.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))$ heraus.

$\cos (x) (- 1 (1 - \sin^{2} (x))) = 0$

Schritt 6.6

Schreibe $- 1 (1 - \sin^{2} (x))$ als $- (1 - \sin^{2} (x))$ um.

$\cos (x) (- (1 - \sin^{2} (x))) = 0$

Schritt 6.7

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\cos (x) (- \cos^{2} (x)) = 0$

Schritt 6.8

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \cos (x) \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 6.9

Multipliziere $\cos (x)$ mit $\cos^{2} (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.9.1

Bewege $\cos^{2} (x)$ .

$- (\cos^{2} (x) \cos (x)) = 0$

Schritt 6.9.2

Mutltipliziere $\cos^{2} (x)$ mit $\cos (x)$ .

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Schritt 6.9.2.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$- (\cos^{2} (x) \cos^{1} (x)) = 0$

Schritt 6.9.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- {\cos (x)}^{2 + 1} = 0$

Schritt 6.9.3

Addiere $2$ und $1$ .

$- \cos^{3} (x) = 0$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $- \cos^{3} (x) = 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 7.1.1

Teile jeden Ausdruck in $- \cos^{3} (x) = 0$ durch $- 1$ .

$\frac{- \cos^{3} (x)}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 7.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\cos^{3} (x)}{1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 7.1.2.2

Dividiere $\cos^{3} (x)$ durch $1$ .

$\cos^{3} (x) = \frac{0}{- 1}$

Schritt 7.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.1.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

$\cos^{3} (x) = 0$

Schritt 7.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\cos (x) = \sqrt[3]{0}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 7.3.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$\cos (x) = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 7.3.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$\cos (x) = 0$

Schritt 7.4

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (0)$

Schritt 7.5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.5.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 7.6

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 7.7

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 7.7.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 7.7.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.7.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 7.7.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 7.7.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.7.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 7.7.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 7.8

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 7.8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.8.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 7.8.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 7.8.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 7.9

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 8

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$