Trigonometrie Beispiele

$\csc (4 x) = \sqrt{2}$

Schritt 1

Wende den inversen Kosekans auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosekans herauszuziehen.

$4 x = arccsc (\sqrt{2})$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Der genau Wert von $arccsc (\sqrt{2})$ ist $\frac{π}{4}$ .

$4 x = \frac{π}{4}$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $4 x = \frac{π}{4}$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = \frac{π}{4}$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{4}}{4}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{4}}{4}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{4}}{4}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 3.3.2

Multipliziere $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{4}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{π}{4 \cdot 4}$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$x = \frac{π}{16}$

Schritt 4

Die Kosekansfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$4 x = π - \frac{π}{4}$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$4 x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 5.1.2

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$4 x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 5.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 5.1.4

Subtrahiere $π$ von $π \cdot 4$ .

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Schritt 5.1.4.1

Stelle $π$ und $4$ um.

$4 x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Schritt 5.1.4.2

Subtrahiere $π$ von $4 \cdot π$ .

$4 x = \frac{3 \cdot π}{4}$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = \frac{3 \cdot π}{4}$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = \frac{3 \cdot π}{4}$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{3 \cdot π}{4}}{4}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{3 \cdot π}{4}}{4}$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{3 \cdot π}{4}}{4}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{3 \cdot π}{4} \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 5.2.3.2

Multipliziere $\frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Schritt 5.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{3 π}{4}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4 \cdot 4}$

Schritt 5.2.3.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$x = \frac{3 π}{16}$

Schritt 6

Ermittele die Periode von $\csc (4 x)$ .

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Schritt 6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.2

Ersetze $b$ durch $4$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Schritt 6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $4$ ist $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Schritt 6.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 6.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$\frac{2 (π)}{4}$

Schritt 6.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π}{2}$

Schritt 7

Die Periode der Funktion $\csc (4 x)$ ist $\frac{π}{2}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{π}{2}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{16} + \frac{π n}{2}, \frac{3 π}{16} + \frac{π n}{2}$ , für jede ganze Zahl $n$