Trigonometrie Beispiele

$\cot (x) \sec (x) = 2 \cot (x)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um, kürze dann die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $\cot (x) \sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} = 2 \cot (x)$

Schritt 1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$\frac{1}{\sin (x)} = 2 \cot (x)$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Vereinfache $2 \cot (x)$ .

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Schritt 2.1.1

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{\sin (x)} = 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 2.1.2

Kombiniere $2$ und $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} = \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{1}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (x) \frac{1}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 4.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \sin (x) \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = \sin (x) \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 5.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = 2 \cos (x)$

Schritt 6

Schreibe die Gleichung als $2 \cos (x) = 1$ um.

$2 \cos (x) = 1$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos (x) = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos (x) = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Schritt 8

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Schritt 9

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.1

Der genau Wert von $\arccos (\frac{1}{2})$ ist $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Schritt 10

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Schritt 11

Vereinfache $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Schritt 11.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 11.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 11.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 11.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 11.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Schritt 11.3.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Schritt 12

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 12.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 12.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 12.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 12.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 13

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$