Trigonometrie Beispiele

$\cot (x) + \tan (x) = \frac{2}{\sin (2 x)}$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \tan (x) = \frac{2}{\sin (2 x)}$

Schritt 1.1.2

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{2}{\sin (2 x)}$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\sin (x)$ .

$\sin (x) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) = \sin (x) \frac{2}{\sin (2 x)}$

Schritt 3

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \sin (x) \frac{2}{\sin (2 x)}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \sin (x) \frac{2}{\sin (2 x)}$

Schritt 4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (x) + \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \sin (x) \frac{2}{\sin (2 x)}$

Schritt 5

Multipliziere $\sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Schritt 5.1

Kombiniere $\sin (x)$ und $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\cos (x) + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} = \sin (x) \frac{2}{\sin (2 x)}$

Schritt 5.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\cos (x) + \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)} = \sin (x) \frac{2}{\sin (2 x)}$

Schritt 5.3

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\cos (x) + \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)} = \sin (x) \frac{2}{\sin (2 x)}$

Schritt 5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (x) + \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} = \sin (x) \frac{2}{\sin (2 x)}$

Schritt 5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \sin (x) \frac{2}{\sin (2 x)}$

Schritt 6

Kombiniere $\sin (x)$ und $\frac{2}{\sin (2 x)}$ .

$\cos (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin (x) \cdot 2}{\sin (2 x)}$

Schritt 7

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$\cos (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin (x) \cdot 2}{2 \sin (x) \cos (x)}$

Schritt 8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin (x) \cdot 2}{2 \sin (x) \cos (x)}$

Schritt 8.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \frac{2}{2 \cos (x)}$

Schritt 9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \frac{2}{2 \cos (x)}$

Schritt 9.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 10

Subtrahiere $\frac{1}{\cos (x)}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)} = 0$

Schritt 11

Vereinfache $\cos (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)}$ .

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Schritt 11.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\cos (x) + \frac{\sin^{2} (x) - 1}{\cos (x)} = 0$

Schritt 11.2

Stelle $\sin^{2} (x)$ und $- 1$ um.

$\cos (x) + \frac{- 1 + \sin^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

Schritt 11.3

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\cos (x) + \frac{- 1 (1) + \sin^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

Schritt 11.4

Faktorisiere $- 1$ aus $\sin^{2} (x)$ heraus.

$\cos (x) + \frac{- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))}{\cos (x)} = 0$

Schritt 11.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))$ heraus.

$\cos (x) + \frac{- 1 (1 - \sin^{2} (x))}{\cos (x)} = 0$

Schritt 11.6

Schreibe $- 1 (1 - \sin^{2} (x))$ als $- (1 - \sin^{2} (x))$ um.

$\cos (x) + \frac{- (1 - \sin^{2} (x))}{\cos (x)} = 0$

Schritt 11.7

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\cos (x) + \frac{- \cos^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

Schritt 11.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\cos^{2} (x)$ und $\cos (x)$ .

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Schritt 11.8.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $- \cos^{2} (x)$ heraus.

$\cos (x) + \frac{\cos (x) (- \cos (x))}{\cos (x)} = 0$

Schritt 11.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.8.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\cos (x) + \frac{\cos (x) (- \cos (x))}{\cos (x) \cdot 1} = 0$

Schritt 11.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (x) + \frac{\cos (x) (- \cos (x))}{\cos (x) \cdot 1} = 0$

Schritt 11.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\cos (x) + \frac{- \cos (x)}{1} = 0$

Schritt 11.8.2.4

Dividiere $- \cos (x)$ durch $1$ .

$\cos (x) - \cos (x) = 0$

Schritt 11.9

Subtrahiere $\cos (x)$ von $\cos (x)$ .

$0 = 0$

Schritt 12

Da $0 = 0$ , wird die Gleichung immer erfüllt sein für jeden Wert von $x$ .

Alle reellen Zahlen

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Alle reellen Zahlen

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$