Trigonometrie Beispiele

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \cos (67.5)}{2}}$

Schritt 1

Vereinfache $\sqrt{\frac{1 + \cos (67.5)}{2}}$ .

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Schritt 1.1

Der genau Wert von $\cos (67.5)$ ist $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

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Schritt 1.1.1

Schreibe $67.5$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{135}{2})}{2}}$

Schritt 1.1.2

Wende die Halbwinkelformel $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ für den Kosinus an.

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (135)}{2}}}{2}}$

Schritt 1.1.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ , da der Kosinus im ersten Quadranten positiv ist.

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{1 + \cos (135)}{2}}}{2}}$

Schritt 1.1.4

Vereinfache $\sqrt{\frac{1 + \cos (135)}{2}}$ .

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Schritt 1.1.4.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{2}}}{2}}$

Schritt 1.1.4.2

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}{2}}$

Schritt 1.1.4.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}{2}}$

Schritt 1.1.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}}{2}}$

Schritt 1.1.4.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}}{2}}$

Schritt 1.1.4.6

Multipliziere $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.1.4.6.1

Mutltipliziere $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}}{2}}$

Schritt 1.1.4.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}}{2}}$

Schritt 1.1.4.7

Schreibe $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ als $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ um.

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}}{2}}$

Schritt 1.1.4.8

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.4.8.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}}{2}}$

Schritt 1.1.4.8.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}}{2}}$

Schritt 1.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}}{2}}$

Schritt 1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}}{2}}$

Schritt 1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Schritt 1.5

Multipliziere $\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}}$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{4}}$

Schritt 1.6

Schreibe $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{4}}$ als $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}}{\sqrt{4}}$ um.

$\cos (\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}}{\sqrt{4}}$

Schritt 1.7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.7.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\cos (\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 1.7.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\cos (\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}}{2}$

Schritt 2

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$\frac{x}{2} = \arccos (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}}{2})$

Schritt 3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1

Berechne $\arccos (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}}{2})$ .

$\frac{x}{2} = 33.75$

Schritt 4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 33.75$

Schritt 5

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 33.75$

Schritt 5.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 \cdot 33.75$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $33.75$ .

$x = 67.5$

Schritt 6

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $360$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$\frac{x}{2} = 360 - 33.75$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (360 - 33.75)$

Schritt 7.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 (360 - 33.75)$

Schritt 7.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 (360 - 33.75)$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.2.1

Vereinfache $2 (360 - 33.75)$ .

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Schritt 7.2.2.1.1

Subtrahiere $33.75$ von $360$ .

$x = 2 \cdot 326.25$

Schritt 7.2.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $326.25$ .

$x = 652.5$

Schritt 8

Ermittele die Periode von $\cos (\frac{x}{2})$ .

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Schritt 8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 8.2

Ersetze $b$ durch $\frac{1}{2}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{360}{| \frac{1}{2} |}$

Schritt 8.3

$\frac{1}{2}$ ist ungefähr $0.5$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{360}{\frac{1}{2}}$

Schritt 8.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$360 \cdot 2$

Schritt 8.5

Mutltipliziere $360$ mit $2$ .

$720$

Schritt 9

Die Periode der $\cos (\frac{x}{2})$ -Funktion ist $720$ , sodass sich die Werte alle $720$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$x = 67.5 + 720 n, 652.5 + 720 n$ , für jede ganze Zahl $n$