Trigonometrie Beispiele

$\cos (\frac{π}{2} + x) - \sin (\frac{π}{2} + x) = 0$

Schritt 1

Teile jeden Term in der Gleichung durch $\cos (\frac{π}{2} + x)$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{2} + x)}{\cos (\frac{π}{2} + x)} + \frac{- \sin (\frac{π}{2} + x)}{\cos (\frac{π}{2} + x)} = \frac{0}{\cos (\frac{π}{2} + x)}$

Schritt 2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (\frac{π}{2} + x)$ .

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (\frac{π}{2} + x)}{\cos (\frac{π}{2} + x)} + \frac{- \sin (\frac{π}{2} + x)}{\cos (\frac{π}{2} + x)} = \frac{0}{\cos (\frac{π}{2} + x)}$

Schritt 2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 + \frac{- \sin (\frac{π}{2} + x)}{\cos (\frac{π}{2} + x)} = \frac{0}{\cos (\frac{π}{2} + x)}$

Schritt 3

Separiere Brüche.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (\frac{π}{2} + x)}{\cos (\frac{π}{2} + x)} = \frac{0}{\cos (\frac{π}{2} + x)}$

Schritt 4

Wandle von $\frac{\sin (\frac{π}{2} + x)}{\cos (\frac{π}{2} + x)}$ nach $\tan (\frac{π}{2} + x)$ um.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (\frac{π}{2} + x) = \frac{0}{\cos (\frac{π}{2} + x)}$

Schritt 5

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$1 - \tan (\frac{π}{2} + x) = \frac{0}{\cos (\frac{π}{2} + x)}$

Schritt 6

Separiere Brüche.

$1 - \tan (\frac{π}{2} + x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (\frac{π}{2} + x)}$

Schritt 7

Wandle von $\frac{1}{\cos (\frac{π}{2} + x)}$ nach $\sec (\frac{π}{2} + x)$ um.

$1 - \tan (\frac{π}{2} + x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (\frac{π}{2} + x)$

Schritt 8

Dividiere $0$ durch $1$ .

$1 - \tan (\frac{π}{2} + x) = 0 \sec (\frac{π}{2} + x)$

Schritt 9

Mutltipliziere $0$ mit $\sec (\frac{π}{2} + x)$ .

$1 - \tan (\frac{π}{2} + x) = 0$

Schritt 10

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \tan (\frac{π}{2} + x) = - 1$

Schritt 11

Teile jeden Ausdruck in $- \tan (\frac{π}{2} + x) = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 11.1

Teile jeden Ausdruck in $- \tan (\frac{π}{2} + x) = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \tan (\frac{π}{2} + x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 11.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 11.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\tan (\frac{π}{2} + x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 11.2.2

Dividiere $\tan (\frac{π}{2} + x)$ durch $1$ .

$\tan (\frac{π}{2} + x) = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 11.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$\tan (\frac{π}{2} + x) = 1$

Schritt 12

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$\frac{π}{2} + x = \arctan (1)$

Schritt 13

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 13.1

Der genau Wert von $\arctan (1)$ ist $\frac{π}{4}$ .

$\frac{π}{2} + x = \frac{π}{4}$

Schritt 14

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 14.1

Subtrahiere $\frac{π}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{π}{4} - \frac{π}{2}$

Schritt 14.2

Um $- \frac{π}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π}{4} - \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 14.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 14.3.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π}{4} - \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Schritt 14.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{π}{4} - \frac{π \cdot 2}{4}$

Schritt 14.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π - π \cdot 2}{4}$

Schritt 14.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{π - 2 π}{4}$

Schritt 14.5.2

Subtrahiere $2 π$ von $π$ .

$x = \frac{- π}{4}$

Schritt 14.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{π}{4}$

Schritt 15

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$\frac{π}{2} + x = π + \frac{π}{4}$

Schritt 16

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 16.1

Vereinfache $π + \frac{π}{4}$ .

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Schritt 16.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π}{2} + x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 16.1.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 16.1.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π}{2} + x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 16.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π}{2} + x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Schritt 16.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 16.1.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{π}{2} + x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Schritt 16.1.3.2

Addiere $4 π$ und $π$ .

$\frac{π}{2} + x = \frac{5 π}{4}$

Schritt 16.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 16.2.1

Subtrahiere $\frac{π}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{5 π}{4} - \frac{π}{2}$

Schritt 16.2.2

Um $- \frac{π}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{4} - \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 16.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 16.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{4} - \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Schritt 16.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{5 π}{4} - \frac{π \cdot 2}{4}$

Schritt 16.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{5 π - π \cdot 2}{4}$

Schritt 16.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 16.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{5 π - 2 π}{4}$

Schritt 16.2.5.2

Subtrahiere $2 π$ von $5 π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 17

Ermittele die Periode von $\tan (\frac{π}{2} + x)$ .

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Schritt 17.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 17.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 17.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 17.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 18

Addiere $π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 18.1

Addiere $π$ zu $- \frac{π}{4}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{4} + π$

Schritt 18.2

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 18.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 18.3.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 18.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 18.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 18.4.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Schritt 18.4.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Schritt 18.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 19

Die Periode der Funktion $\tan (\frac{π}{2} + x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 20

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{3 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$