Trigonometrie Beispiele

$\cos (2 x) + \cos (x) = 2$

Schritt 1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (2 x) + \cos (x) - 2 = 0$

Schritt 2

Vereinfache die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (2 x)$ nach $2 \cos^{2} (x) - 1$ zu transformieren.

$2 \cos^{2} (x) - 1 + \cos (x) - 2 = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 3 + \cos (x) = 0$

Schritt 3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1

Stelle die Terme um.

$2 \cos^{2} (x) + \cos (x) - 3 = 0$

Schritt 3.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ und deren Summe gleich $b = 1$ ist.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$2 \cos^{2} (x) + 1 \cos (x) - 3 = 0$

Schritt 3.2.2

Schreibe $1$ um als $- 2$ plus $3$

$2 \cos^{2} (x) + (- 2 + 3) \cos (x) - 3 = 0$

Schritt 3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) + 3 \cos (x) - 3 = 0$

Schritt 3.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$2 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) + 3 \cos (x) - 3 = 0$

Schritt 3.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$2 \cos (x) (\cos (x) - 1) + 3 (\cos (x) - 1) = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $\cos (x) - 1$ .

$(\cos (x) - 1) (2 \cos (x) + 3) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

$2 \cos (x) + 3 = 0$

Schritt 5

Setze $\cos (x) - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $\cos (x) - 1$ gleich $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

Schritt 5.2

Löse $\cos (x) - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (x) = 1$

Schritt 5.2.2

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (1)$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Der genau Wert von $\arccos (1)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 5.2.4

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - 0$

Schritt 5.2.5

Subtrahiere $0$ von $2 π$ .

$x = 2 π$

Schritt 5.2.6

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 5.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 5.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 5.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 5.2.6.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 5.2.7

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 6

Setze $2 \cos (x) + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $2 \cos (x) + 3$ gleich $0$ .

$2 \cos (x) + 3 = 0$

Schritt 6.2

Löse $2 \cos (x) + 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \cos (x) = - 3$

Schritt 6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos (x) = - 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos (x) = - 3$ durch $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 3}{2}$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 3}{2}$

Schritt 6.2.2.2.1.2

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 3}{2}$

Schritt 6.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (x) = - \frac{3}{2}$

Schritt 6.2.3

Der Wertebereich des Cosinus ist $- 1 \leq y \leq 1$ . Da $- \frac{3}{2}$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(\cos (x) - 1) (2 \cos (x) + 3) = 0$ wahr machen.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 8

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$