Trigonometrie Beispiele

$\cos (20) + 4 \sin^{2} (x) = 2$

Schritt 1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (20) + 4 \sin^{2} (x) - 2 = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\cos (20) + 4 \sin^{2} (x) - 2$ .

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Schritt 2.1

Berechne $\cos (20)$ .

$0.93969262 + 4 \sin^{2} (x) - 2 = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $2$ von $0.93969262$ .

$- 1.06030737 + 4 \sin^{2} (x) = 0$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Addiere $1.06030737$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 \sin^{2} (x) = 1.06030737$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $4 \sin^{2} (x) = 1.06030737$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 \sin^{2} (x) = 1.06030737$ durch $4$ .

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{4} = \frac{1.06030737}{4}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{4} = \frac{1.06030737}{4}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $\sin^{2} (x)$ durch $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{1.06030737}{4}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Dividiere $1.06030737$ durch $4$ .

$\sin^{2} (x) = 0.26507684$

Schritt 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{0.26507684}$

Schritt 3.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\sin (x) = \sqrt{0.26507684}$

Schritt 3.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\sin (x) = - \sqrt{0.26507684}$

Schritt 3.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\sin (x) = \sqrt{0.26507684}, - \sqrt{0.26507684}$

Schritt 3.5

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sin (x) = \sqrt{0.26507684}$

$\sin (x) = - \sqrt{0.26507684}$

Schritt 3.6

Löse in $\sin (x) = \sqrt{0.26507684}$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\sqrt{0.26507684})$

Schritt 3.6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.6.2.1

Berechne $\arcsin (\sqrt{0.26507684})$ .

$x = 30.98783966$

Schritt 3.6.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $180$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = 180 - 30.98783966$

Schritt 3.6.4

Subtrahiere $30.98783966$ von $180$ .

$x = 149.01216033$

Schritt 3.6.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 3.6.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 3.6.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{360}{| 1 |}$

Schritt 3.6.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{360}{1}$

Schritt 3.6.5.4

Dividiere $360$ durch $1$ .

$360$

Schritt 3.6.6

Die Periode der $\sin (x)$ -Funktion ist $360$ , sodass sich die Werte alle $360$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$x = 30.98783966 + 360 n, 149.01216033 + 360 n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3.7

Löse in $\sin (x) = - \sqrt{0.26507684}$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.7.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- \sqrt{0.26507684})$

Schritt 3.7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.7.2.1

Berechne $\arcsin (- \sqrt{0.26507684})$ .

$x = - 30.98783966$

Schritt 3.7.3

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $360$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $180$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 360 + 30.98783966 + 180$

Schritt 3.7.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 3.7.4.1

Subtrahiere $360 °$ von $360 + 30.98783966 + 180 °$ .

$x = 360 + 30.98783966 + 180 ° - 360 °$

Schritt 3.7.4.2

Der resultierende Winkel von $210.98783966 °$ ist positiv, kleiner als $360 °$ und gleich $360 + 30.98783966 + 180$ .

$x = 210.98783966 °$

Schritt 3.7.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 3.7.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 3.7.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{360}{| 1 |}$

Schritt 3.7.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{360}{1}$

Schritt 3.7.5.4

Dividiere $360$ durch $1$ .

$360$

Schritt 3.7.6

Addiere $360$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 3.7.6.1

Addiere $360$ zu $- 30.98783966$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 30.98783966 + 360$

Schritt 3.7.6.2

Subtrahiere $30.98783966$ von $360$ .

$329.01216033$

Schritt 3.7.6.3

Liste die neuen Winkel auf.

$x = 329.01216033$

Schritt 3.7.7

Die Periode der $\sin (x)$ -Funktion ist $360$ , sodass sich die Werte alle $360$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$x = 210.98783966 + 360 n, 329.01216033 + 360 n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3.8

Liste alle Lösungen auf.

$x = 30.98783966 + 360 n, 149.01216033 + 360 n, 210.98783966 + 360 n, 329.01216033 + 360 n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3.9

Fasse die Lösungen zusammen.

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Schritt 3.9.1

Führe $30.98783966 + 360 n$ und $210.98783966 + 360 n$ zu $30.98783966 + 180 n$ zusammen.

$x = 30.98783966 + 180 n, 149.01216033 + 360 n, 329.01216033 + 360 n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3.9.2

Führe $149.01216033 + 360 n$ und $329.01216033 + 360 n$ zu $149.01216033 + 180 n$ zusammen.

$x = 30.98783966 + 180 n, 149.01216033 + 180 n$ , für jede ganze Zahl $n$