Trigonometrie Beispiele

$\cos (6 y) = \cos^{2} (3 y) - \sin^{2} (3 y)$

Schritt 1

Vereinfache $\cos^{2} (3 y) - \sin^{2} (3 y)$ .

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Schritt 1.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \cos (3 y)$ und $b = \sin (3 y)$ .

$\cos (6 y) = (\cos (3 y) + \sin (3 y)) (\cos (3 y) - \sin (3 y))$

Schritt 1.2

Multipliziere $(\cos (3 y) + \sin (3 y)) (\cos (3 y) - \sin (3 y))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (6 y) = \cos (3 y) (\cos (3 y) - \sin (3 y)) + \sin (3 y) (\cos (3 y) - \sin (3 y))$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (6 y) = \cos (3 y) \cos (3 y) + \cos (3 y) (- \sin (3 y)) + \sin (3 y) (\cos (3 y) - \sin (3 y))$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (6 y) = \cos (3 y) \cos (3 y) + \cos (3 y) (- \sin (3 y)) + \sin (3 y) \cos (3 y) + \sin (3 y) (- \sin (3 y))$

Schritt 1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\cos (3 y) \cos (3 y) + \cos (3 y) (- \sin (3 y)) + \sin (3 y) \cos (3 y) + \sin (3 y) (- \sin (3 y))$ .

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Schritt 1.3.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $\cos (3 y) (- \sin (3 y))$ und $\sin (3 y) \cos (3 y)$ neu an.

$\cos (6 y) = \cos (3 y) \cos (3 y) - \cos (3 y) \sin (3 y) + \cos (3 y) \sin (3 y) + \sin (3 y) (- \sin (3 y))$

Schritt 1.3.1.2

Addiere $- \cos (3 y) \sin (3 y)$ und $\cos (3 y) \sin (3 y)$ .

$\cos (6 y) = \cos (3 y) \cos (3 y) + 0 + \sin (3 y) (- \sin (3 y))$

Schritt 1.3.1.3

Addiere $\cos (3 y) \cos (3 y)$ und $0$ .

$\cos (6 y) = \cos (3 y) \cos (3 y) + \sin (3 y) (- \sin (3 y))$

Schritt 1.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.2.1

Multipliziere $\cos (3 y) \cos (3 y)$ .

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Schritt 1.3.2.1.1

Potenziere $\cos (3 y)$ mit $1$ .

$\cos (6 y) = \cos^{1} (3 y) \cos (3 y) + \sin (3 y) (- \sin (3 y))$

Schritt 1.3.2.1.2

Potenziere $\cos (3 y)$ mit $1$ .

$\cos (6 y) = \cos^{1} (3 y) \cos^{1} (3 y) + \sin (3 y) (- \sin (3 y))$

Schritt 1.3.2.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (6 y) = {\cos (3 y)}^{1 + 1} + \sin (3 y) (- \sin (3 y))$

Schritt 1.3.2.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos (6 y) = \cos^{2} (3 y) + \sin (3 y) (- \sin (3 y))$

Schritt 1.3.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\cos (6 y) = \cos^{2} (3 y) - \sin (3 y) \sin (3 y)$

Schritt 1.3.2.3

Multipliziere $- \sin (3 y) \sin (3 y)$ .

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Schritt 1.3.2.3.1

Potenziere $\sin (3 y)$ mit $1$ .

$\cos (6 y) = \cos^{2} (3 y) - (\sin^{1} (3 y) \sin (3 y))$

Schritt 1.3.2.3.2

Potenziere $\sin (3 y)$ mit $1$ .

$\cos (6 y) = \cos^{2} (3 y) - (\sin^{1} (3 y) \sin^{1} (3 y))$

Schritt 1.3.2.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (6 y) = \cos^{2} (3 y) - {\sin (3 y)}^{1 + 1}$

Schritt 1.3.2.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos (6 y) = \cos^{2} (3 y) - \sin^{2} (3 y)$

Schritt 1.4

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Kosinus an.

$\cos (6 y) = \cos (2 (3 y))$

Schritt 1.5

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\cos (6 y) = \cos (6 y)$

Schritt 2

Damit die zwei Funktionen gleich sind, müssen ihre Argumente gleich sein.

$6 y = 6 y$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die $y$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $6 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 y - 6 y = 0$

Schritt 3.2

Subtrahiere $6 y$ von $6 y$ .

$0 = 0$

Schritt 4

Da $0 = 0$ , wird die Gleichung immer erfüllt sein für jeden Wert von $y$ .

Alle reellen Zahlen

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Alle reellen Zahlen

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$