Trigonometrie Beispiele

$\cos (4 x) = - 1$

Schritt 1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$4 x = \arccos (- 1)$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Der genau Wert von $\arccos (- 1)$ ist $π$ .

$4 x = π$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $4 x = π$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = π$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{π}{4}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{π}{4}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 4

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$4 x = 2 π - π$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$4 x = π$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = π$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = π$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{π}{4}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{π}{4}$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 6

Ermittele die Periode von $\cos (4 x)$ .

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Schritt 6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.2

Ersetze $b$ durch $4$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Schritt 6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $4$ ist $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Schritt 6.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 6.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$\frac{2 (π)}{4}$

Schritt 6.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π}{2}$

Schritt 7

Die Periode der Funktion $\cos (4 x)$ ist $\frac{π}{2}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{π}{2}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , für jede ganze Zahl $n$