Trigonometrie Beispiele

$\cos (3 x - \frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$3 x - \frac{π}{3} = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Der genau Wert von $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ ist $\frac{π}{4}$ .

$3 x - \frac{π}{3} = \frac{π}{4}$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Addiere $\frac{π}{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = \frac{π}{4} + \frac{π}{3}$

Schritt 3.2

Um $\frac{π}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$3 x = \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Schritt 3.3

Um $\frac{π}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$3 x = \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 3.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $12$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.4.1

Mutltipliziere $\frac{π}{4}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$3 x = \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$3 x = \frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $\frac{π}{3}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$3 x = \frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4}$

Schritt 3.4.4

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$3 x = \frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π \cdot 4}{12}$

Schritt 3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 x = \frac{π \cdot 3 + π \cdot 4}{12}$

Schritt 3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$3 x = \frac{3 \cdot π + π \cdot 4}{12}$

Schritt 3.6.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$3 x = \frac{3 π + 4 \cdot π}{12}$

Schritt 3.6.3

Addiere $3 π$ und $4 π$ .

$3 x = \frac{7 π}{12}$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{7 π}{12}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{7 π}{12}$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 π}{12}}{3}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 π}{12}}{3}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{12}}{3}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{7 π}{12} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 4.3.2

Multipliziere $\frac{7 π}{12} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 4.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{7 π}{12}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{7 π}{12 \cdot 3}$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $12$ mit $3$ .

$x = \frac{7 π}{36}$

Schritt 5

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$3 x - \frac{π}{3} = 2 π - \frac{π}{4}$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Vereinfache $2 π - \frac{π}{4}$ .

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Schritt 6.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$3 x - \frac{π}{3} = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 6.1.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.1.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{4}{4}$ .

$3 x - \frac{π}{3} = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 6.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 x - \frac{π}{3} = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 6.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$3 x - \frac{π}{3} = \frac{8 π - π}{4}$

Schritt 6.1.3.2

Subtrahiere $π$ von $8 π$ .

$3 x - \frac{π}{3} = \frac{7 π}{4}$

Schritt 6.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Addiere $\frac{π}{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = \frac{7 π}{4} + \frac{π}{3}$

Schritt 6.2.2

Um $\frac{7 π}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$3 x = \frac{7 π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Schritt 6.2.3

Um $\frac{π}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$3 x = \frac{7 π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 6.2.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $12$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{7 π}{4}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$3 x = \frac{7 π \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 6.2.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$3 x = \frac{7 π \cdot 3}{12} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 6.2.4.3

Mutltipliziere $\frac{π}{3}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$3 x = \frac{7 π \cdot 3}{12} + \frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4}$

Schritt 6.2.4.4

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$3 x = \frac{7 π \cdot 3}{12} + \frac{π \cdot 4}{12}$

Schritt 6.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 x = \frac{7 π \cdot 3 + π \cdot 4}{12}$

Schritt 6.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.6.1

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$3 x = \frac{21 π + π \cdot 4}{12}$

Schritt 6.2.6.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$3 x = \frac{21 π + 4 \cdot π}{12}$

Schritt 6.2.6.3

Addiere $21 π$ und $4 π$ .

$3 x = \frac{25 π}{12}$

Schritt 6.3

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{25 π}{12}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{25 π}{12}$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{25 π}{12}}{3}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{25 π}{12}}{3}$

Schritt 6.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{25 π}{12}}{3}$

Schritt 6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{25 π}{12} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 6.3.3.2

Multipliziere $\frac{25 π}{12} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 6.3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{25 π}{12}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{25 π}{12 \cdot 3}$

Schritt 6.3.3.2.2

Mutltipliziere $12$ mit $3$ .

$x = \frac{25 π}{36}$

Schritt 7

Ermittele die Periode von $\cos (3 x - \frac{π}{3})$ .

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Schritt 7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.2

Ersetze $b$ durch $3$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Schritt 7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $3$ ist $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Schritt 8

Die Periode der Funktion $\cos (3 x - \frac{π}{3})$ ist $\frac{2 π}{3}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{2 π}{3}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{7 π}{36} + \frac{2 π n}{3}, \frac{25 π}{36} + \frac{2 π n}{3}$ , für jede ganze Zahl $n$