Trigonometrie Beispiele

$6 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x) - 6 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Es sei $u = \sin (x)$ . Ersetze $u$ für alle $\sin (x)$ .

$6 u^{2} + 5 u - 6 = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 6 \cdot - 6 = - 36$ und deren Summe gleich $b = 5$ ist.

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Schritt 1.2.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5 u$ heraus.

$6 u^{2} + 5 (u) - 6 = 0$

Schritt 1.2.1.2

Schreibe $5$ um als $- 4$ plus $9$

$6 u^{2} + (- 4 + 9) u - 6 = 0$

Schritt 1.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$6 u^{2} - 4 u + 9 u - 6 = 0$

Schritt 1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(6 u^{2} - 4 u) + 9 u - 6 = 0$

Schritt 1.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$2 u (3 u - 2) + 3 (3 u - 2) = 0$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 u - 2$ .

$(3 u - 2) (2 u + 3) = 0$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$(3 \sin (x) - 2) (2 \sin (x) + 3) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 \sin (x) - 2 = 0$

$2 \sin (x) + 3 = 0$

Schritt 3

Setze $3 \sin (x) - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $3 \sin (x) - 2$ gleich $0$ .

$3 \sin (x) - 2 = 0$

Schritt 3.2

Löse $3 \sin (x) - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 \sin (x) = 2$

Schritt 3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 \sin (x) = 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 \sin (x) = 2$ durch $3$ .

$\frac{3 \sin (x)}{3} = \frac{2}{3}$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \sin (x)}{3} = \frac{2}{3}$

Schritt 3.2.2.2.1.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x) = \frac{2}{3}$

Schritt 3.2.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{2}{3})$

Schritt 3.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.4.1

Berechne $\arcsin (\frac{2}{3})$ .

$x = 0.72972765$

Schritt 3.2.5

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = (3.14159265) - 0.72972765$

Schritt 3.2.6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.6.1

Entferne die Klammern.

$x = 3.14159265 - 0.72972765$

Schritt 3.2.6.2

Entferne die Klammern.

$x = (3.14159265) - 0.72972765$

Schritt 3.2.6.3

Subtrahiere $0.72972765$ von $3.14159265$ .

$x = 2.41186499$

Schritt 3.2.7

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 3.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 3.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 3.2.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 3.2.8

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 0.72972765 + 2 π n, 2.41186499 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 4

Setze $2 \sin (x) + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $2 \sin (x) + 3$ gleich $0$ .

$2 \sin (x) + 3 = 0$

Schritt 4.2

Löse $2 \sin (x) + 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sin (x) = - 3$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (x) = - 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (x) = - 3$ durch $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 3}{2}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 3}{2}$

Schritt 4.2.2.2.1.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 3}{2}$

Schritt 4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sin (x) = - \frac{3}{2}$

Schritt 4.2.3

Der Wertebereich des Sinus ist $- 1 \leq y \leq 1$ . Da $- \frac{3}{2}$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 \sin (x) - 2) (2 \sin (x) + 3) = 0$ wahr machen.

$x = 0.72972765 + 2 π n, 2.41186499 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$