Trigonometrie Beispiele

$5 y + 12 = - \frac{8}{y}$

Schritt 1

Subtrahiere $12$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 y = - \frac{8}{y} - 12$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, y, 1$

Schritt 2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $5 y = - \frac{8}{y} - 12$ mit $y$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $5 y = - \frac{8}{y} - 12$ mit $y$ .

$5 y \cdot y = - \frac{8}{y} y - 12 y$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1.1

Bewege $y$ .

$5 (y \cdot y) = - \frac{8}{y} y - 12 y$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$5 y^{2} = - \frac{8}{y} y - 12 y$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.3.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{8}{y}$ in den Zähler.

$5 y^{2} = \frac{- 8}{y} y - 12 y$

Schritt 3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 y^{2} = \frac{- 8}{y} y - 12 y$

Schritt 3.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$5 y^{2} = - 8 - 12 y$

Schritt 4

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.1

Addiere $12 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 y^{2} + 12 y = - 8$

Schritt 4.2

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 y^{2} + 12 y + 8 = 0$

Schritt 4.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.4

Setze die Werte $a = 5$ , $b = 12$ und $c = 8$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (5 \cdot 8)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.5

Vereinfache.

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Schritt 4.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1.1

Potenziere $12$ mit $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 5 \cdot 8}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 5 \cdot 8$ .

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Schritt 4.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 20 \cdot 8}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 20$ mit $8$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 160}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.5.1.3

Subtrahiere $160$ von $144$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.5.1.4

Schreibe $- 16$ als $- 1 (16)$ um.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (16)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ um.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.5.1.7

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = \frac{- 12 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.5.1.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$y = \frac{- 12 \pm 4 i}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$y = \frac{- 12 \pm 4 i}{10}$

Schritt 4.5.3

Vereinfache $\frac{- 12 \pm 4 i}{10}$ .

$y = \frac{- 6 \pm 2 i}{5}$

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = - \frac{6}{5} + \frac{2 i}{5}, - \frac{6}{5} - \frac{2 i}{5}$