Trigonometrie Beispiele

$5 \sin (3 x) + 6 \cos (3 x) = 1$

Schritt 1

Wende die Identitätsgleichung an, um die Gleichung zu lösen. In dieser Identitätsgleichung stellt $θ$ den Winkel dar, der erzeugt wird durch Einzeichnen von Punkt $(a, b)$ auf einem Graphen und kann daher durch Anwenden von $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ ermittelt werden.

$a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$ , wobei $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ und $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$

Schritt 2

Stelle die Gleichung auf, um den Wert von $θ$ zu finden.

$\tan^{-1} (\frac{6}{5})$

Schritt 3

Berechne $\tan^{-1} (\frac{6}{5})$ .

$θ = 0.87605805$

Schritt 4

Löse, um den Wert von $R$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$R = \sqrt{25 + {(6)}^{2}}$

Schritt 4.2

Potenziere $6$ mit $2$ .

$R = \sqrt{25 + 36}$

Schritt 4.3

Addiere $25$ und $36$ .

$R = \sqrt{61}$

Schritt 5

Setze die bekannten Werte in die Gleichung ein.

$(\sqrt{61}) \sin (3 x + 0.87605805) = 1$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $\sqrt{61} \sin (3 x + 0.87605805) = 1$ durch $\sqrt{61}$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $\sqrt{61} \sin (3 x + 0.87605805) = 1$ durch $\sqrt{61}$ .

$\frac{\sqrt{61} \sin (3 x + 0.87605805)}{\sqrt{61}} = \frac{1}{\sqrt{61}}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{61}$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{61} \sin (3 x + 0.87605805)}{\sqrt{61}} = \frac{1}{\sqrt{61}}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $\sin (3 x + 0.87605805)$ durch $1$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{1}{\sqrt{61}}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{61}}$ mit $\frac{\sqrt{61}}{\sqrt{61}}$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{1}{\sqrt{61}} \cdot \frac{\sqrt{61}}{\sqrt{61}}$

Schritt 6.3.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{61}}$ mit $\frac{\sqrt{61}}{\sqrt{61}}$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{\sqrt{61} \sqrt{61}}$

Schritt 6.3.2.2

Potenziere $\sqrt{61}$ mit $1$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{{\sqrt{61}}^{1} \sqrt{61}}$

Schritt 6.3.2.3

Potenziere $\sqrt{61}$ mit $1$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{{\sqrt{61}}^{1} {\sqrt{61}}^{1}}$

Schritt 6.3.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{{\sqrt{61}}^{1 + 1}}$

Schritt 6.3.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{{\sqrt{61}}^{2}}$

Schritt 6.3.2.6

Schreibe ${\sqrt{61}}^{2}$ als $61$ um.

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Schritt 6.3.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{61}$ als $61^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{{(61^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 6.3.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{61^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 6.3.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{61^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.3.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{61^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.3.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{61^{1}}$

Schritt 6.3.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{61}$

Schritt 7

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$3 x + 0.87605805 = \sin^{-1} (\frac{\sqrt{61}}{61})$

Schritt 8

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.1

Berechne $\sin^{-1} (\frac{\sqrt{61}}{61})$ .

$3 x + 0.87605805 = 0.12838931$

Schritt 9

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1

Subtrahiere $0.87605805$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 0.12838931 - 0.87605805$

Schritt 9.2

Subtrahiere $0.87605805$ von $0.12838931$ .

$3 x = - 0.74766873$

Schritt 10

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 0.74766873$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 10.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 0.74766873$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 0.74766873}{3}$

Schritt 10.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 10.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 0.74766873}{3}$

Schritt 10.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 0.74766873}{3}$

Schritt 10.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.3.1

Dividiere $- 0.74766873$ durch $3$ .

$x = - 0.24922291$

Schritt 11

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$3 x + 0.87605805 = (3.14159265) - 0.12838931$

Schritt 12

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Subtrahiere $0.12838931$ von $3.14159265$ .

$3 x + 0.87605805 = 3.01320333$

Schritt 12.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 12.2.1

Subtrahiere $0.87605805$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 3.01320333 - 0.87605805$

Schritt 12.2.2

Subtrahiere $0.87605805$ von $3.01320333$ .

$3 x = 2.13714528$

Schritt 12.3

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 2.13714528$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 12.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 2.13714528$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2.13714528}{3}$

Schritt 12.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 12.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 12.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2.13714528}{3}$

Schritt 12.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2.13714528}{3}$

Schritt 12.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 12.3.3.1

Dividiere $2.13714528$ durch $3$ .

$x = 0.71238176$

Schritt 13

Ermittele die Periode von $\sin (3 x + 0.87605805)$ .

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Schritt 13.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 13.2

Ersetze $b$ durch $3$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Schritt 13.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $3$ ist $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Schritt 14

Addiere $\frac{2 π}{3}$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 14.1

Addiere $\frac{2 π}{3}$ zu $- 0.24922291$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 0.24922291 + \frac{2 π}{3}$

Schritt 14.2

Subtrahiere $0.24922291$ von $\frac{2 π}{3}$ .

$1.84517219$

Schritt 14.3

Liste die neuen Winkel auf.

$x = 1.84517219$

Schritt 15

Die Periode der Funktion $\sin (3 x + 0.87605805)$ ist $\frac{2 π}{3}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{2 π}{3}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 0.71238176 + \frac{2 π n}{3}, 1.84517219 + \frac{2 π n}{3}$ , für jede ganze Zahl $n$