Trigonometrie Beispiele

$5 \log (x + 1) + 10 = 10 \log (t + 1) + 5$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$5 \log (x + 1) - 10 \log (t + 1) = - 10 + 5$

Schritt 2

Addiere $- 10$ und $5$ .

$5 \log (x + 1) - 10 \log (t + 1) = - 5$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache $5 \log (x + 1) - 10 \log (t + 1)$ .

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Schritt 3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1.1

Vereinfache $5 \log (x + 1)$ , indem du $5$ in den Logarithmus ziehst.

$\log ({(x + 1)}^{5}) - 10 \log (t + 1) = - 5$

Schritt 3.1.1.2

Vereinfache $- 10 \log (t + 1)$ , indem du $10$ in den Logarithmus ziehst.

$\log ({(x + 1)}^{5}) - \log ({(t + 1)}^{10}) = - 5$

Schritt 3.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{{(x + 1)}^{5}}{{(t + 1)}^{10}}) = - 5$

Schritt 4

Schreibe $\log (\frac{{(x + 1)}^{5}}{{(t + 1)}^{10}}) = - 5$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$10^{- 5} = \frac{{(x + 1)}^{5}}{{(t + 1)}^{10}}$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{{(x + 1)}^{5}}{{(t + 1)}^{10}} = 10^{- 5}$ um.

$\frac{{(x + 1)}^{5}}{{(t + 1)}^{10}} = 10^{- 5}$

Schritt 5.2

Multipliziere beide Seiten mit ${(t + 1)}^{10}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{5}}{{(t + 1)}^{10}} {(t + 1)}^{10} = 10^{- 5} {(t + 1)}^{10}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(t + 1)}^{10}$ .

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Schritt 5.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(x + 1)}^{5}}{{(t + 1)}^{10}} {(t + 1)}^{10} = 10^{- 5} {(t + 1)}^{10}$

Schritt 5.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

${(x + 1)}^{5} = 10^{- 5} {(t + 1)}^{10}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Vereinfache $10^{- 5} {(t + 1)}^{10}$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(x + 1)}^{5} = \frac{1}{10^{5}} {(t + 1)}^{10}$

Schritt 5.3.2.1.2

Potenziere $10$ mit $5$ .

${(x + 1)}^{5} = \frac{1}{100000} {(t + 1)}^{10}$

Schritt 5.3.2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{100000}$ und ${(t + 1)}^{10}$ .

${(x + 1)}^{5} = \frac{{(t + 1)}^{10}}{100000}$

Schritt 5.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.4.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x + 1 = \sqrt[5]{\frac{{(t + 1)}^{10}}{100000}}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache $\sqrt[5]{\frac{{(t + 1)}^{10}}{100000}}$ .

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Schritt 5.4.2.1

Schreibe ${(t + 1)}^{10}$ als ${({(t + 1)}^{2})}^{5}$ um.

$x + 1 = \sqrt[5]{\frac{{({(t + 1)}^{2})}^{5}}{100000}}$

Schritt 5.4.2.2

Schreibe $100000$ als $10^{5}$ um.

$x + 1 = \sqrt[5]{\frac{{({(t + 1)}^{2})}^{5}}{10^{5}}}$

Schritt 5.4.2.3

Schreibe $\frac{{({(t + 1)}^{2})}^{5}}{10^{5}}$ als ${(\frac{{(t + 1)}^{2}}{10})}^{5}$ um.

$x + 1 = \sqrt[5]{{(\frac{{(t + 1)}^{2}}{10})}^{5}}$

Schritt 5.4.2.4

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x + 1 = \frac{{(t + 1)}^{2}}{10}$

Schritt 5.4.3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{{(t + 1)}^{2}}{10} - 1$

Schritt 5.4.4

Vereinfache $\frac{{(t + 1)}^{2}}{10} - 1$ .

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Schritt 5.4.4.1

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{10}{10}$ .

$x = \frac{{(t + 1)}^{2}}{10} - 1 \cdot \frac{10}{10}$

Schritt 5.4.4.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.4.4.2.1

Kombiniere $- 1$ und $\frac{10}{10}$ .

$x = \frac{{(t + 1)}^{2}}{10} + \frac{- 1 \cdot 10}{10}$

Schritt 5.4.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{{(t + 1)}^{2} - 1 \cdot 10}{10}$

Schritt 5.4.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.4.3.1

Schreibe ${(t + 1)}^{2}$ als $(t + 1) (t + 1)$ um.

$x = \frac{(t + 1) (t + 1) - 1 \cdot 10}{10}$

Schritt 5.4.4.3.2

Multipliziere $(t + 1) (t + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.4.4.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{t (t + 1) + 1 (t + 1) - 1 \cdot 10}{10}$

Schritt 5.4.4.3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{t \cdot t + t \cdot 1 + 1 (t + 1) - 1 \cdot 10}{10}$

Schritt 5.4.4.3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{t \cdot t + t \cdot 1 + 1 t + 1 \cdot 1 - 1 \cdot 10}{10}$

Schritt 5.4.4.3.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.4.4.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.4.3.3.1.1

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$x = \frac{t^{2} + t \cdot 1 + 1 t + 1 \cdot 1 - 1 \cdot 10}{10}$

Schritt 5.4.4.3.3.1.2

Mutltipliziere $t$ mit $1$ .

$x = \frac{t^{2} + t + 1 t + 1 \cdot 1 - 1 \cdot 10}{10}$

Schritt 5.4.4.3.3.1.3

Mutltipliziere $t$ mit $1$ .

$x = \frac{t^{2} + t + t + 1 \cdot 1 - 1 \cdot 10}{10}$

Schritt 5.4.4.3.3.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$x = \frac{t^{2} + t + t + 1 - 1 \cdot 10}{10}$

Schritt 5.4.4.3.3.2

Addiere $t$ und $t$ .

$x = \frac{t^{2} + 2 t + 1 - 1 \cdot 10}{10}$

Schritt 5.4.4.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$x = \frac{t^{2} + 2 t + 1 - 10}{10}$

Schritt 5.4.4.3.5

Subtrahiere $10$ von $1$ .

$x = \frac{t^{2} + 2 t - 9}{10}$