Trigonometrie Beispiele

$9 \sin^{2} (x) \tan (x) = 16 \tan (x)$

Schritt 1

Subtrahiere $16 \tan (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$9 \sin^{2} (x) \tan (x) - 16 \tan (x) = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $9 \sin^{2} (x) \tan (x) - 16 \tan (x)$ .

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Schritt 2.1

Faktorisiere $\tan (x)$ aus $9 \sin^{2} (x) \tan (x) - 16 \tan (x)$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $\tan (x)$ aus $9 \sin^{2} (x) \tan (x)$ heraus.

$\tan (x) (9 \sin^{2} (x)) - 16 \tan (x) = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $\tan (x)$ aus $- 16 \tan (x)$ heraus.

$\tan (x) (9 \sin^{2} (x)) + \tan (x) \cdot - 16 = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $\tan (x)$ aus $\tan (x) (9 \sin^{2} (x)) + \tan (x) \cdot - 16$ heraus.

$\tan (x) (9 \sin^{2} (x) - 16) = 0$

Schritt 2.2

Schreibe $9 \sin^{2} (x)$ als ${(3 \sin (x))}^{2}$ um.

$\tan (x) ({(3 \sin (x))}^{2} - 16) = 0$

Schritt 2.3

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\tan (x) ({(3 \sin (x))}^{2} - 4^{2}) = 0$

Schritt 2.4

Faktorisiere.

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Schritt 2.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 3 \sin (x)$ und $b = 4$ .

$\tan (x) ((3 \sin (x) + 4) (3 \sin (x) - 4)) = 0$

Schritt 2.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$\tan (x) (3 \sin (x) + 4) (3 \sin (x) - 4) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\tan (x) = 0$

$3 \sin (x) + 4 = 0$

$3 \sin (x) - 4 = 0$

Schritt 4

Setze $\tan (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $\tan (x)$ gleich $0$ .

$\tan (x) = 0$

Schritt 4.2

Löse $\tan (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (0)$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Der genau Wert von $\arctan (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 4.2.3

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = π + 0$

Schritt 4.2.4

Addiere $π$ und $0$ .

$x = π$

Schritt 4.2.5

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 4.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 4.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 4.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 4.2.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 4.2.6

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = π n, π + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5

Setze $3 \sin (x) + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $3 \sin (x) + 4$ gleich $0$ .

$3 \sin (x) + 4 = 0$

Schritt 5.2

Löse $3 \sin (x) + 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 \sin (x) = - 4$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 \sin (x) = - 4$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 \sin (x) = - 4$ durch $3$ .

$\frac{3 \sin (x)}{3} = \frac{- 4}{3}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \sin (x)}{3} = \frac{- 4}{3}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 4}{3}$

Schritt 5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sin (x) = - \frac{4}{3}$

Schritt 5.2.3

Der Wertebereich des Sinus ist $- 1 \leq y \leq 1$ . Da $- \frac{4}{3}$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $\tan (x) (3 \sin (x) + 4) (3 \sin (x) - 4) = 0$ wahr machen.

$x = π n, π + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 7

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = π n$ , für jede ganze Zahl $n$