Trigonometrie Beispiele

$9 {(x - 4)}^{2} + 16 {(y - 3)}^{2} = 144$

Schritt 1

Subtrahiere $16 {(y - 3)}^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$9 {(x - 4)}^{2} = 144 - 16 {(y - 3)}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache $144 - 16 {(y - 3)}^{2}$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Schreibe ${(y - 3)}^{2}$ als $(y - 3) (y - 3)$ um.

$9 {(x - 4)}^{2} = 144 - 16 ((y - 3) (y - 3))$

Schritt 2.1.2

Multipliziere $(y - 3) (y - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$9 {(x - 4)}^{2} = 144 - 16 (y (y - 3) - 3 (y - 3))$

Schritt 2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$9 {(x - 4)}^{2} = 144 - 16 (y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 (y - 3))$

Schritt 2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$9 {(x - 4)}^{2} = 144 - 16 (y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3)$

Schritt 2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.3.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$9 {(x - 4)}^{2} = 144 - 16 (y^{2} + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3)$

Schritt 2.1.3.1.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $y$ .

$9 {(x - 4)}^{2} = 144 - 16 (y^{2} - 3 \cdot y - 3 y - 3 \cdot - 3)$

Schritt 2.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$9 {(x - 4)}^{2} = 144 - 16 (y^{2} - 3 y - 3 y + 9)$

Schritt 2.1.3.2

Subtrahiere $3 y$ von $- 3 y$ .

$9 {(x - 4)}^{2} = 144 - 16 (y^{2} - 6 y + 9)$

Schritt 2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$9 {(x - 4)}^{2} = 144 - 16 y^{2} - 16 (- 6 y) - 16 \cdot 9$

Schritt 2.1.5

Vereinfache.

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Schritt 2.1.5.1

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 16$ .

$9 {(x - 4)}^{2} = 144 - 16 y^{2} + 96 y - 16 \cdot 9$

Schritt 2.1.5.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $9$ .

$9 {(x - 4)}^{2} = 144 - 16 y^{2} + 96 y - 144$

Schritt 2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $144 - 16 y^{2} + 96 y - 144$ .

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $144$ von $144$ .

$9 {(x - 4)}^{2} = - 16 y^{2} + 96 y + 0$

Schritt 2.2.2

Addiere $- 16 y^{2} + 96 y$ und $0$ .

$9 {(x - 4)}^{2} = - 16 y^{2} + 96 y$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $9 {(x - 4)}^{2} = - 16 y^{2} + 96 y$ durch $9$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $9 {(x - 4)}^{2} = - 16 y^{2} + 96 y$ durch $9$ .

$\frac{9 {(x - 4)}^{2}}{9} = \frac{- 16 y^{2}}{9} + \frac{96 y}{9}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 {(x - 4)}^{2}}{9} = \frac{- 16 y^{2}}{9} + \frac{96 y}{9}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere ${(x - 4)}^{2}$ durch $1$ .

${(x - 4)}^{2} = \frac{- 16 y^{2}}{9} + \frac{96 y}{9}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

${(x - 4)}^{2} = - \frac{16 y^{2}}{9} + \frac{96 y}{9}$

Schritt 3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $96$ und $9$ .

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Schritt 3.3.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $96 y$ heraus.

${(x - 4)}^{2} = - \frac{16 y^{2}}{9} + \frac{3 (32 y)}{9}$

Schritt 3.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.1.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

${(x - 4)}^{2} = - \frac{16 y^{2}}{9} + \frac{3 (32 y)}{3 (3)}$

Schritt 3.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x - 4)}^{2} = - \frac{16 y^{2}}{9} + \frac{3 (32 y)}{3 \cdot 3}$

Schritt 3.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

${(x - 4)}^{2} = - \frac{16 y^{2}}{9} + \frac{32 y}{3}$

Schritt 4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x - 4 = \pm \sqrt{- \frac{16 y^{2}}{9} + \frac{32 y}{3}}$

Schritt 5

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{16 y^{2}}{9} + \frac{32 y}{3}}$ .

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Schritt 5.1

Um $\frac{32 y}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x - 4 = \pm \sqrt{- \frac{16 y^{2}}{9} + \frac{32 y}{3} \cdot \frac{3}{3}}$

Schritt 5.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $9$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $\frac{32 y}{3}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$x - 4 = \pm \sqrt{- \frac{16 y^{2}}{9} + \frac{32 y \cdot 3}{3 \cdot 3}}$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$x - 4 = \pm \sqrt{- \frac{16 y^{2}}{9} + \frac{32 y \cdot 3}{9}}$

Schritt 5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x - 4 = \pm \sqrt{\frac{- 16 y^{2} + 32 y \cdot 3}{9}}$

Schritt 5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $16 y$ aus $- 16 y^{2} + 32 y \cdot 3$ heraus.

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Schritt 5.4.1.1

Faktorisiere $16 y$ aus $- 16 y^{2}$ heraus.

$x - 4 = \pm \sqrt{\frac{16 y (- y) + 32 y \cdot 3}{9}}$

Schritt 5.4.1.2

Faktorisiere $16 y$ aus $32 y \cdot 3$ heraus.

$x - 4 = \pm \sqrt{\frac{16 y (- y) + 16 y (2 \cdot 3)}{9}}$

Schritt 5.4.1.3

Faktorisiere $16 y$ aus $16 y (- y) + 16 y (2 \cdot 3)$ heraus.

$x - 4 = \pm \sqrt{\frac{16 y (- y + 2 \cdot 3)}{9}}$

Schritt 5.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x - 4 = \pm \sqrt{\frac{16 y (- y + 6)}{9}}$

Schritt 5.5

Schreibe $\frac{16 y (- y + 6)}{9}$ als ${(\frac{2^{2}}{3})}^{2} (y (- y + 6))$ um.

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Schritt 5.5.1

Faktorisiere die perfekte Potenz ${(2^{2})}^{2}$ aus $16 y (- y + 6)$ heraus.

$x - 4 = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} (y (- y + 6))}{9}}$

Schritt 5.5.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $3^{2}$ aus $9$ heraus.

$x - 4 = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} (y (- y + 6))}{3^{2} \cdot 1}}$

Schritt 5.5.3

Ordne den Bruch $\frac{{(2^{2})}^{2} (y (- y + 6))}{3^{2} \cdot 1}$ um.

$x - 4 = \pm \sqrt{{(\frac{2^{2}}{3})}^{2} (y (- y + 6))}$

Schritt 5.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x - 4 = \pm \frac{2^{2}}{3} \sqrt{y (- y + 6)}$

Schritt 5.7

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x - 4 = \pm \frac{4}{3} \sqrt{y (- y + 6)}$

Schritt 5.8

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $\sqrt{y (- y + 6)}$ .

$x - 4 = \pm \frac{4 \sqrt{y (- y + 6)}}{3}$

Schritt 6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x - 4 = \frac{4 \sqrt{y (- y + 6)}}{3}$

Schritt 6.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{4 \sqrt{y (- y + 6)}}{3} + 4$

Schritt 6.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x - 4 = - \frac{4 \sqrt{y (- y + 6)}}{3}$

Schritt 6.4

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = - \frac{4 \sqrt{y (- y + 6)}}{3} + 4$

Schritt 6.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{4 \sqrt{y (- y + 6)}}{3} + 4$

$x = - \frac{4 \sqrt{y (- y + 6)}}{3} + 4$

$x = \frac{4 \sqrt{y (- y + 6)}}{3} + 4$

$x = - \frac{4 \sqrt{y (- y + 6)}}{3} + 4$