Trigonometrie Beispiele

$8 \sin^{2} (x) - 4 \sin (x) = 2$

Schritt 1

Ersetze $\sin (x)$ durch $u$ .

$8 {(u)}^{2} - 4 u = 2$

Schritt 2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 u^{2} - 4 u - 2 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere $2$ aus $8 u^{2} - 4 u - 2$ heraus.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $2$ aus $8 u^{2}$ heraus.

$2 (4 u^{2}) - 4 u - 2 = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4 u$ heraus.

$2 (4 u^{2}) + 2 (- 2 u) - 2 = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$2 (4 u^{2}) + 2 (- 2 u) + 2 (- 1) = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (4 u^{2}) + 2 (- 2 u)$ heraus.

$2 (4 u^{2} - 2 u) + 2 (- 1) = 0$

Schritt 3.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (4 u^{2} - 2 u) + 2 (- 1)$ heraus.

$2 (4 u^{2} - 2 u - 1) = 0$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $2 (4 u^{2} - 2 u - 1) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (4 u^{2} - 2 u - 1) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 (4 u^{2} - 2 u - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (4 u^{2} - 2 u - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $4 u^{2} - 2 u - 1$ durch $1$ .

$4 u^{2} - 2 u - 1 = \frac{0}{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$4 u^{2} - 2 u - 1 = 0$

Schritt 5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6

Setze die Werte $a = 4$ , $b = - 2$ und $c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 1)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 1$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.1.3

Addiere $4$ und $16$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.1.4

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 7.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$u = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}, \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

Schritt 9

Ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}, \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

Schritt 10

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$

$\sin (x) = \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

Schritt 11

Löse in $\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$ nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{1 + \sqrt{5}}{4})$

Schritt 11.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.2.1

Berechne $\arcsin (\frac{1 + \sqrt{5}}{4})$ .

$x = \frac{3 π}{10}$

Schritt 11.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - \frac{3 π}{10}$

Schritt 11.4

Vereinfache $π - \frac{3 π}{10}$ .

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Schritt 11.4.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{10}{10}$ .

$x = π \cdot \frac{10}{10} - \frac{3 π}{10}$

Schritt 11.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 11.4.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{10}{10}$ .

$x = \frac{π \cdot 10}{10} - \frac{3 π}{10}$

Schritt 11.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 10 - 3 π}{10}$

Schritt 11.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.4.3.1

Bringe $10$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{10 \cdot π - 3 π}{10}$

Schritt 11.4.3.2

Subtrahiere $3 π$ von $10 π$ .

$x = \frac{7 π}{10}$

Schritt 11.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 11.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 11.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 11.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 11.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 11.6

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{10} + 2 π n, \frac{7 π}{10} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 12

Löse in $\sin (x) = \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$ nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{1 - \sqrt{5}}{4})$

Schritt 12.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 12.2.1

Berechne $\arcsin (\frac{1 - \sqrt{5}}{4})$ .

$x = - \frac{π}{10}$

Schritt 12.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π + \frac{π}{10}$

Schritt 12.4

Vereinfache $π + \frac{π}{10}$ .

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Schritt 12.4.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{10}{10}$ .

$x = π \cdot \frac{10}{10} + \frac{π}{10}$

Schritt 12.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 12.4.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{10}{10}$ .

$x = \frac{π \cdot 10}{10} + \frac{π}{10}$

Schritt 12.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 10 + π}{10}$

Schritt 12.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.4.3.1

Bringe $10$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{10 \cdot π + π}{10}$

Schritt 12.4.3.2

Addiere $10 π$ und $π$ .

$x = \frac{11 π}{10}$

Schritt 12.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 12.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 12.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 12.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 12.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 12.6

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 12.6.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{10}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{10} + 2 π$

Schritt 12.6.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{10}{10}$ .

$2 π \cdot \frac{10}{10} - \frac{π}{10}$

Schritt 12.6.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 12.6.3.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{10}{10}$ .

$\frac{2 π \cdot 10}{10} - \frac{π}{10}$

Schritt 12.6.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 10 - π}{10}$

Schritt 12.6.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.6.4.1

Mutltipliziere $10$ mit $2$ .

$\frac{20 π - π}{10}$

Schritt 12.6.4.2

Subtrahiere $π$ von $20 π$ .

$\frac{19 π}{10}$

Schritt 12.6.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{19 π}{10}$

Schritt 12.7

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{11 π}{10} + 2 π n, \frac{19 π}{10} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 13

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{3 π}{10} + 2 π n, \frac{7 π}{10} + 2 π n, \frac{11 π}{10} + 2 π n, \frac{19 π}{10} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$