Trigonometrie Beispiele

$8 \sin^{2} (\frac{x}{2}) - 10 \sin (\frac{x}{2}) + 3 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Es sei $u = \sin (\frac{x}{2})$ . Ersetze $u$ für alle $\sin (\frac{x}{2})$ .

$8 u^{2} - 10 u + 3 = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 8 \cdot 3 = 24$ und deren Summe gleich $b = - 10$ ist.

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Schritt 1.2.1.1

Faktorisiere $- 10$ aus $- 10 u$ heraus.

$8 u^{2} - 10 u + 3 = 0$

Schritt 1.2.1.2

Schreibe $- 10$ um als $- 4$ plus $- 6$

$8 u^{2} + (- 4 - 6) u + 3 = 0$

Schritt 1.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$8 u^{2} - 4 u - 6 u + 3 = 0$

Schritt 1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(8 u^{2} - 4 u) - 6 u + 3 = 0$

Schritt 1.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$4 u (2 u - 1) - 3 (2 u - 1) = 0$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (4 u - 3) = 0$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\sin (\frac{x}{2})$ .

$(2 \sin (\frac{x}{2}) - 1) (4 \sin (\frac{x}{2}) - 3) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 \sin (\frac{x}{2}) - 1 = 0$

$4 \sin (\frac{x}{2}) - 3 = 0$

Schritt 3

Setze $2 \sin (\frac{x}{2}) - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $2 \sin (\frac{x}{2}) - 1$ gleich $0$ .

$2 \sin (\frac{x}{2}) - 1 = 0$

Schritt 3.2

Löse $2 \sin (\frac{x}{2}) - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sin (\frac{x}{2}) = 1$

Schritt 3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (\frac{x}{2}) = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (\frac{x}{2}) = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.2.2.1.2

Dividiere $\sin (\frac{x}{2})$ durch $1$ .

$\sin (\frac{x}{2}) = \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$\frac{x}{2} = \arcsin (\frac{1}{2})$

Schritt 3.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.4.1

Der genau Wert von $\arcsin (\frac{1}{2})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{6}$

Schritt 3.2.5

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{6}$

Schritt 3.2.6

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.6.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.6.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{6}$

Schritt 3.2.6.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 \frac{π}{6}$

Schritt 3.2.6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.6.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$x = 2 \frac{π}{2 (3)}$

Schritt 3.2.6.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2 \frac{π}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.2.6.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{π}{3}$

Schritt 3.2.7

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$\frac{x}{2} = π - \frac{π}{6}$

Schritt 3.2.8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.8.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{6})$

Schritt 3.2.8.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.8.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.8.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{6})$

Schritt 3.2.8.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 (π - \frac{π}{6})$

Schritt 3.2.8.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.8.2.2.1

Vereinfache $2 (π - \frac{π}{6})$ .

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Schritt 3.2.8.2.2.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 (π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6})$

Schritt 3.2.8.2.2.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.8.2.2.1.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 (\frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6})$

Schritt 3.2.8.2.2.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = 2 \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 3.2.8.2.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.8.2.2.1.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$x = 2 \frac{π \cdot 6 - π}{2 (3)}$

Schritt 3.2.8.2.2.1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2 \frac{π \cdot 6 - π}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.2.8.2.2.1.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{3}$

Schritt 3.2.8.2.2.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.8.2.2.1.3.1

Bringe $6$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{3}$

Schritt 3.2.8.2.2.1.3.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Schritt 3.2.9

Ermittele die Periode von $\sin (\frac{x}{2})$ .

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Schritt 3.2.9.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.2.9.2

Ersetze $b$ durch $\frac{1}{2}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Schritt 3.2.9.3

$\frac{1}{2}$ ist ungefähr $0.5$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.2.9.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \cdot 2$

Schritt 3.2.9.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 π$

Schritt 3.2.10

Die Periode der Funktion $\sin (\frac{x}{2})$ ist $4 π$ , d. h., Werte werden sich alle $4 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{3} + 4 π n, \frac{5 π}{3} + 4 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4

Setze $4 \sin (\frac{x}{2}) - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $4 \sin (\frac{x}{2}) - 3$ gleich $0$ .

$4 \sin (\frac{x}{2}) - 3 = 0$

Schritt 4.2

Löse $4 \sin (\frac{x}{2}) - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 \sin (\frac{x}{2}) = 3$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 \sin (\frac{x}{2}) = 3$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 \sin (\frac{x}{2}) = 3$ durch $4$ .

$\frac{4 \sin (\frac{x}{2})}{4} = \frac{3}{4}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \sin (\frac{x}{2})}{4} = \frac{3}{4}$

Schritt 4.2.2.2.1.2

Dividiere $\sin (\frac{x}{2})$ durch $1$ .

$\sin (\frac{x}{2}) = \frac{3}{4}$

Schritt 4.2.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$\frac{x}{2} = \arcsin (\frac{3}{4})$

Schritt 4.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.4.1

Berechne $\arcsin (\frac{3}{4})$ .

$\frac{x}{2} = 0.84806207$

Schritt 4.2.5

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 0.84806207$

Schritt 4.2.6

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 4.2.6.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.6.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 0.84806207$

Schritt 4.2.6.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 \cdot 0.84806207$

Schritt 4.2.6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.6.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $0.84806207$ .

$x = 1.69612415$

Schritt 4.2.7

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$\frac{x}{2} = (3.14159265) - 0.84806207$

Schritt 4.2.8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.8.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 ((3.14159265) - 0.84806207)$

Schritt 4.2.8.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 4.2.8.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.8.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 ((3.14159265) - 0.84806207)$

Schritt 4.2.8.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 ((3.14159265) - 0.84806207)$

Schritt 4.2.8.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.8.2.2.1

Vereinfache $2 ((3.14159265) - 0.84806207)$ .

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Schritt 4.2.8.2.2.1.1

Subtrahiere $0.84806207$ von $3.14159265$ .

$x = 2 \cdot 2.29353057$

Schritt 4.2.8.2.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2.29353057$ .

$x = 4.58706114$

Schritt 4.2.9

Ermittele die Periode von $\sin (\frac{x}{2})$ .

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Schritt 4.2.9.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.2.9.2

Ersetze $b$ durch $\frac{1}{2}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Schritt 4.2.9.3

$\frac{1}{2}$ ist ungefähr $0.5$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.2.9.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \cdot 2$

Schritt 4.2.9.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 π$

Schritt 4.2.10

Die Periode der Funktion $\sin (\frac{x}{2})$ ist $4 π$ , d. h., Werte werden sich alle $4 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 1.69612415 + 4 π n, 4.58706114 + 4 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 \sin (\frac{x}{2}) - 1) (4 \sin (\frac{x}{2}) - 3) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{π}{3} + 4 π n, \frac{5 π}{3} + 4 π n, 1.69612415 + 4 π n, 4.58706114 + 4 π n$ , für jede Ganzzahl $n$