Trigonometrie Beispiele

$8 \cos^{2} (2 x) + 7 \cos (2 x) - 1 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Es sei $u = \cos (2 x)$ . Ersetze $u$ für alle $\cos (2 x)$ .

$8 u^{2} + 7 u - 1 = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 8 \cdot - 1 = - 8$ und deren Summe gleich $b = 7$ ist.

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Schritt 1.2.1.1

Faktorisiere $7$ aus $7 u$ heraus.

$8 u^{2} + 7 (u) - 1 = 0$

Schritt 1.2.1.2

Schreibe $7$ um als $- 1$ plus $8$

$8 u^{2} + (- 1 + 8) u - 1 = 0$

Schritt 1.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$8 u^{2} - 1 u + 8 u - 1 = 0$

Schritt 1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(8 u^{2} - 1 u) + 8 u - 1 = 0$

Schritt 1.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (8 u - 1) + 1 (8 u - 1) = 0$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $8 u - 1$ .

$(8 u - 1) (u + 1) = 0$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\cos (2 x)$ .

$(8 \cos (2 x) - 1) (\cos (2 x) + 1) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$8 \cos (2 x) - 1 = 0$

$\cos (2 x) + 1 = 0$

Schritt 3

Setze $8 \cos (2 x) - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $8 \cos (2 x) - 1$ gleich $0$ .

$8 \cos (2 x) - 1 = 0$

Schritt 3.2

Löse $8 \cos (2 x) - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$8 \cos (2 x) = 1$

Schritt 3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $8 \cos (2 x) = 1$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $8 \cos (2 x) = 1$ durch $8$ .

$\frac{8 \cos (2 x)}{8} = \frac{1}{8}$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 \cos (2 x)}{8} = \frac{1}{8}$

Schritt 3.2.2.2.1.2

Dividiere $\cos (2 x)$ durch $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{1}{8}$

Schritt 3.2.3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$2 x = \arccos (\frac{1}{8})$

Schritt 3.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.4.1

Berechne $\arccos (\frac{1}{8})$ .

$2 x = 1.44546849$

Schritt 3.2.5

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1.44546849$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1.44546849$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1.44546849}{2}$

Schritt 3.2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1.44546849}{2}$

Schritt 3.2.5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1.44546849}{2}$

Schritt 3.2.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.5.3.1

Dividiere $1.44546849$ durch $2$ .

$x = 0.72273424$

Schritt 3.2.6

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$2 x = 2 (3.14159265) - 1.44546849$

Schritt 3.2.7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.7.1

Vereinfache.

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Schritt 3.2.7.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$2 x = 6.2831853 - 1.44546849$

Schritt 3.2.7.1.2

Subtrahiere $1.44546849$ von $6.2831853$ .

$2 x = 4.83771681$

Schritt 3.2.7.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 4.83771681$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.7.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 4.83771681$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{4.83771681}{2}$

Schritt 3.2.7.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.7.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{4.83771681}{2}$

Schritt 3.2.7.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{4.83771681}{2}$

Schritt 3.2.7.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.7.2.3.1

Dividiere $4.83771681$ durch $2$ .

$x = 2.4188584$

Schritt 3.2.8

Ermittele die Periode von $\cos (2 x)$ .

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Schritt 3.2.8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.2.8.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Schritt 3.2.8.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 3.2.8.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.8.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 3.2.8.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 3.2.9

Die Periode der Funktion $\cos (2 x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 0.72273424 + π n, 2.4188584 + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4

Setze $\cos (2 x) + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $\cos (2 x) + 1$ gleich $0$ .

$\cos (2 x) + 1 = 0$

Schritt 4.2

Löse $\cos (2 x) + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (2 x) = - 1$

Schritt 4.2.2

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$2 x = \arccos (- 1)$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Der genau Wert von $\arccos (- 1)$ ist $π$ .

$2 x = π$

Schritt 4.2.4

Teile jeden Ausdruck in $2 x = π$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = π$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Schritt 4.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Schritt 4.2.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 4.2.5

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$2 x = 2 π - π$

Schritt 4.2.6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.6.1

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$2 x = π$

Schritt 4.2.6.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = π$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = π$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Schritt 4.2.6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Schritt 4.2.6.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 4.2.7

Ermittele die Periode von $\cos (2 x)$ .

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Schritt 4.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.2.7.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Schritt 4.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 4.2.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 4.2.7.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 4.2.8

Die Periode der Funktion $\cos (2 x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(8 \cos (2 x) - 1) (\cos (2 x) + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0.72273424 + π n, 2.4188584 + π n, \frac{π}{2} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$