Trigonometrie Beispiele

$7 \sin (x) = 5 \tan (x)$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $7 \sin (x) = 5 \tan (x)$ durch $5 \tan (x)$ und vereinfache.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $7 \sin (x) = 5 \tan (x)$ durch $5 \tan (x)$ .

$\frac{7 \sin (x)}{5 \tan (x)} = \frac{5 \tan (x)}{5 \tan (x)}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Separiere Brüche.

$\frac{7}{5} \cdot \frac{\sin (x)}{\tan (x)} = \frac{5 \tan (x)}{5 \tan (x)}$

Schritt 1.2.2

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{7}{5} \cdot \frac{\sin (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \frac{5 \tan (x)}{5 \tan (x)}$

Schritt 1.2.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ zu dividieren.

$\frac{7}{5} (\sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) = \frac{5 \tan (x)}{5 \tan (x)}$

Schritt 1.2.4

Schreibe $\sin (x)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{7}{5} (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) = \frac{5 \tan (x)}{5 \tan (x)}$

Schritt 1.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 1.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7}{5} (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) = \frac{5 \tan (x)}{5 \tan (x)}$

Schritt 1.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{7}{5} \cos (x) = \frac{5 \tan (x)}{5 \tan (x)}$

Schritt 1.2.6

Kombiniere $\frac{7}{5}$ und $\cos (x)$ .

$\frac{7 \cos (x)}{5} = \frac{5 \tan (x)}{5 \tan (x)}$

Schritt 1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 \cos (x)}{5} = \frac{5 \tan (x)}{5 \tan (x)}$

Schritt 1.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{7 \cos (x)}{5} = \frac{\tan (x)}{\tan (x)}$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\tan (x)$ .

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Schritt 1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 \cos (x)}{5} = \frac{\tan (x)}{\tan (x)}$

Schritt 1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{7 \cos (x)}{5} = 1$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{5}{7}$ .

$\frac{5}{7} \cdot \frac{7 \cos (x)}{5} = \frac{5}{7} \cdot 1$

Schritt 3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Vereinfache $\frac{5}{7} \cdot \frac{7 \cos (x)}{5}$ .

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Schritt 3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5}{7} \cdot \frac{7 \cos (x)}{5} = \frac{5}{7} \cdot 1$

Schritt 3.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{7} (7 \cos (x)) = \frac{5}{7} \cdot 1$

Schritt 3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 3.1.1.2.1

Faktorisiere $7$ aus $7 \cos (x)$ heraus.

$\frac{1}{7} (7 \cos (x)) = \frac{5}{7} \cdot 1$

Schritt 3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{7} (7 \cos (x)) = \frac{5}{7} \cdot 1$

Schritt 3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\cos (x) = \frac{5}{7} \cdot 1$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $\frac{5}{7}$ mit $1$ .

$\cos (x) = \frac{5}{7}$

Schritt 4

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (\frac{5}{7})$

Schritt 5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1

Berechne $\arccos (\frac{5}{7})$ .

$x = 0.77519337$

Schritt 6

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 (3.14159265) - 0.77519337$

Schritt 7

Vereinfache $2 (3.14159265) - 0.77519337$ .

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 0.77519337$

Schritt 7.2

Subtrahiere $0.77519337$ von $6.2831853$ .

$x = 5.50799193$

Schritt 8

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 8.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 8.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 8.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 9

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 0.77519337 + 2 π n, 5.50799193 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$