Trigonometrie Beispiele

$7 - 6 \sin (x) = 3 + 2 \sin (x)$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die $\sin (x)$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $2 \sin (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$7 - 6 \sin (x) - 2 \sin (x) = 3$

Schritt 1.2

Subtrahiere $2 \sin (x)$ von $- 6 \sin (x)$ .

$7 - 8 \sin (x) = 3$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die nicht $\sin (x)$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 8 \sin (x) = 3 - 7$

Schritt 2.2

Subtrahiere $7$ von $3$ .

$- 8 \sin (x) = - 4$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $- 8 \sin (x) = - 4$ durch $- 8$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 8 \sin (x) = - 4$ durch $- 8$ .

$\frac{- 8 \sin (x)}{- 8} = \frac{- 4}{- 8}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 8$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 8 \sin (x)}{- 8} = \frac{- 4}{- 8}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 4}{- 8}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $- 8$ .

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4$ heraus.

$\sin (x) = \frac{- 4 (1)}{- 8}$

Schritt 3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.1.2.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 8$ heraus.

$\sin (x) = \frac{- 4 \cdot 1}{- 4 \cdot 2}$

Schritt 3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (x) = \frac{- 4 \cdot 1}{- 4 \cdot 2}$

Schritt 3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Schritt 4

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Schritt 5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1

Der genau Wert von $\arcsin (\frac{1}{2})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Schritt 6

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - \frac{π}{6}$

Schritt 7

Vereinfache $π - \frac{π}{6}$ .

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Schritt 7.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 7.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 7.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 7.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.3.1

Bringe $6$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Schritt 7.3.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Schritt 8

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 8.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 8.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 8.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 9

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$