Trigonometrie Beispiele

$7 x^{2} + 6 \sqrt{3} x y + 13 y^{2} - 6 = 0$

Schritt 1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2

Setze die Werte $a = 7$ , $b = 6 \sqrt{3} y$ und $c = 13 y^{2} - 6$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{{(6 \sqrt{3} y)}^{2} - 4 \cdot (7 \cdot (13 y^{2} - 6))}}{2 \cdot 7}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Füge Klammern hinzu.

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{{(6 (\sqrt{3} y))}^{2} - 4 \cdot (7 \cdot (13 y^{2} - 6))}}{2 \cdot 7}$

Schritt 3.1.2

Es sei $u = 7 \cdot (13 y^{2} - 6)$ . Ersetze $u$ für alle $7 \cdot (13 y^{2} - 6)$ .

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Schritt 3.1.2.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.1.2.1.1

Wende die Produktregel auf $6 \sqrt{3} y$ an.

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{{(6 \sqrt{3})}^{2} y^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 7}$

Schritt 3.1.2.1.2

Wende die Produktregel auf $6 \sqrt{3}$ an.

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{6^{2} {\sqrt{3}}^{2} y^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 7}$

Schritt 3.1.2.2

Potenziere $6$ mit $2$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{36 {\sqrt{3}}^{2} y^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 7}$

Schritt 3.1.2.3

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.1.2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{36 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} y^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 7}$

Schritt 3.1.2.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{36 \cdot (3^{\frac{1}{2} \cdot 2} y^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 7}$

Schritt 3.1.2.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{36 \cdot (3^{\frac{2}{2}} y^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 7}$

Schritt 3.1.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.2.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{36 \cdot (3^{\frac{2}{2}} y^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 7}$

Schritt 3.1.2.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{36 \cdot (3 y^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 7}$

Schritt 3.1.2.3.5

Berechne den Exponenten.

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{36 \cdot (3 y^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 7}$

Schritt 3.1.2.4

Mutltipliziere $36$ mit $3$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{108 y^{2} - 4 u}}{2 \cdot 7}$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $4$ aus $108 y^{2} - 4 u$ heraus.

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Schritt 3.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $108 y^{2}$ heraus.

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (27 y^{2}) - 4 u}}{2 \cdot 7}$

Schritt 3.1.3.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 u$ heraus.

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (27 y^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot 7}$

Schritt 3.1.3.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (27 y^{2}) + 4 (- u)$ heraus.

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (27 y^{2} - u)}}{2 \cdot 7}$

Schritt 3.1.4

Ersetze alle $u$ durch $7 \cdot (13 y^{2} - 6)$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (27 y^{2} - (7 \cdot (13 y^{2} - 6)))}}{2 \cdot 7}$

Schritt 3.1.5

Vereinfache.

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Schritt 3.1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (27 y^{2} - (7 (13 y^{2}) + 7 \cdot - 6))}}{2 \cdot 7}$

Schritt 3.1.5.1.2

Mutltipliziere $13$ mit $7$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (27 y^{2} - (91 y^{2} + 7 \cdot - 6))}}{2 \cdot 7}$

Schritt 3.1.5.1.3

Mutltipliziere $7$ mit $- 6$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (27 y^{2} - (91 y^{2} - 42))}}{2 \cdot 7}$

Schritt 3.1.5.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (27 y^{2} - (91 y^{2}) + 42)}}{2 \cdot 7}$

Schritt 3.1.5.1.5

Mutltipliziere $91$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (27 y^{2} - 91 y^{2} + 42)}}{2 \cdot 7}$

Schritt 3.1.5.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 42$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (27 y^{2} - 91 y^{2} + 42)}}{2 \cdot 7}$

Schritt 3.1.5.2

Subtrahiere $91 y^{2}$ von $27 y^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (- 64 y^{2} + 42)}}{2 \cdot 7}$

Schritt 3.1.6

Faktorisiere $2$ aus $- 64 y^{2} + 42$ heraus.

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Schritt 3.1.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 64 y^{2}$ heraus.

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (2 (- 32 y^{2}) + 42)}}{2 \cdot 7}$

Schritt 3.1.6.2

Faktorisiere $2$ aus $42$ heraus.

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (2 (- 32 y^{2}) + 2 (21))}}{2 \cdot 7}$

Schritt 3.1.6.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 32 y^{2}) + 2 (21)$ heraus.

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (2 (- 32 y^{2} + 21))}}{2 \cdot 7}$

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 \cdot (2 (- 32 y^{2} + 21))}}{2 \cdot 7}$

Schritt 3.1.7

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{8 (- 32 y^{2} + 21)}}{2 \cdot 7}$

Schritt 3.1.8

Schreibe $8 (- 32 y^{2} + 21)$ als $2^{2} \cdot (2 (- 32 y^{2} + 21))$ um.

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Schritt 3.1.8.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (2) (- 32 y^{2} + 21)}}{2 \cdot 7}$

Schritt 3.1.8.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (- 32 y^{2} + 21))}}{2 \cdot 7}$

Schritt 3.1.8.3

Füge Klammern hinzu.

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (- 32 y^{2} + 21))}}{2 \cdot 7}$

Schritt 3.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm 2 \sqrt{2 (- 32 y^{2} + 21)}}{2 \cdot 7}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm 2 \sqrt{2 (- 32 y^{2} + 21)}}{14}$

Schritt 3.3

Vereinfache $\frac{- 6 \sqrt{3} y \pm 2 \sqrt{2 (- 32 y^{2} + 21)}}{14}$ .

$x = \frac{- 3 \sqrt{3} y \pm \sqrt{2 (- 32 y^{2} + 21)}}{7}$

Schritt 4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{3 \sqrt{3} y - \sqrt{2 (- 32 y^{2} + 21)}}{7}$

$x = - \frac{3 \sqrt{3} y + \sqrt{2 (- 32 y^{2} + 21)}}{7}$