Trigonometrie Beispiele

$4 \sin^{2} (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $4 \sin^{2} (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ durch $4$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $4 \sin^{2} (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ durch $4$ .

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{4} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{4}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{4} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{4}$

Schritt 1.2.1.2

Dividiere $\sin^{2} (x)$ durch $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{4}$

Schritt 1.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sin^{2} (x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 1.3.2

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{\sqrt{2}}{8}$

Schritt 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{8}}$

Schritt 3

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{8}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Schreibe $\sqrt{\frac{\sqrt{2}}{8}}$ als $\frac{\sqrt{\sqrt{2}}}{\sqrt{8}}$ um.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{\sqrt{2}}}{\sqrt{8}}$

Schritt 3.2

Schreibe $\sqrt{\sqrt{2}}$ als $\sqrt[4]{2}$ um.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt{8}}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt{4 (2)}}$

Schritt 3.3.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2}}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[4]{2}}{2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 3.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[4]{2}}{2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 3.5.2

Bewege $\sqrt{2}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Schritt 3.5.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Schritt 3.5.4

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Schritt 3.5.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.5.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 3.5.7

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.5.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.5.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.5.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.5.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

Schritt 3.5.7.5

Berechne den Exponenten.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1

Forme den Ausdruck um unter Verwendung des kleinsten gemeinsamen Index von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.6.1.2

Schreibe $2^{\frac{1}{2}}$ als $2^{\frac{2}{4}}$ um.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \cdot 2^{\frac{2}{4}}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.6.1.3

Schreibe $2^{\frac{2}{4}}$ als $\sqrt[4]{2^{2}}$ um.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt[4]{2^{2}}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.6.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2 \cdot 2^{2}}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.6.3

Multipliziere $2$ mit $2^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.3.1.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2^{1} \cdot 2^{2}}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.6.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2^{1 + 2}}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.6.3.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2^{3}}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.7

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2^{3}}}{4}$

Schritt 3.7.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{8}}{4}$

Schritt 4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\sin (x) = \frac{\sqrt[4]{8}}{4}$

Schritt 4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt[4]{8}}{4}$

Schritt 4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\sin (x) = \frac{\sqrt[4]{8}}{4}, - \frac{\sqrt[4]{8}}{4}$

Schritt 5

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sin (x) = \frac{\sqrt[4]{8}}{4}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt[4]{8}}{4}$

Schritt 6

Löse in $\sin (x) = \frac{\sqrt[4]{8}}{4}$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt[4]{8}}{4})$

Schritt 6.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Berechne $\arcsin (\frac{\sqrt[4]{8}}{4})$ .

$x = 0.43393925$

Schritt 6.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = (3.14159265) - 0.43393925$

Schritt 6.4

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.1

Entferne die Klammern.

$x = 3.14159265 - 0.43393925$

Schritt 6.4.2

Entferne die Klammern.

$x = (3.14159265) - 0.43393925$

Schritt 6.4.3

Subtrahiere $0.43393925$ von $3.14159265$ .

$x = 2.70765339$

Schritt 6.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 6.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 6.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 6.6

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 0.43393925 + 2 π n, 2.70765339 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 7

Löse in $\sin (x) = - \frac{\sqrt[4]{8}}{4}$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt[4]{8}}{4})$

Schritt 7.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Berechne $\arcsin (- \frac{\sqrt[4]{8}}{4})$ .

$x = - 0.43393925$

Schritt 7.3

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 (3.14159265) + 0.43393925 + 3.14159265$

Schritt 7.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.4.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 (3.14159265) + 0.43393925 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) + 0.43393925 + 3.14159265 - 2 π$

Schritt 7.4.2

Der resultierende Winkel von $3.5755319$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 (3.14159265) + 0.43393925 + 3.14159265$ .

$x = 3.5755319$

Schritt 7.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 7.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 7.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 7.6

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.6.1

Addiere $2 π$ zu $- 0.43393925$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 0.43393925 + 2 π$

Schritt 7.6.2

Subtrahiere $0.43393925$ von $2 π$ .

$5.84924605$

Schritt 7.6.3

Liste die neuen Winkel auf.

$x = 5.84924605$

Schritt 7.7

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 3.5755319 + 2 π n, 5.84924605 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 8

Liste alle Lösungen auf.

$x = 0.43393925 + 2 π n, 2.70765339 + 2 π n, 3.5755319 + 2 π n, 5.84924605 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9

Fasse die Lösungen zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Führe $0.43393925 + 2 π n$ und $3.5755319 + 2 π n$ zu $0.43393925 + π n$ zusammen.

$x = 0.43393925 + π n, 2.70765339 + 2 π n, 5.84924605 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9.2

Führe $2.70765339 + 2 π n$ und $5.84924605 + 2 π n$ zu $2.70765339 + π n$ zusammen.

$x = 0.43393925 + π n, 2.70765339 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$