Trigonometrie Beispiele

$4 \sin^{2} (2 x) = 1$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $4 \sin^{2} (2 x) = 1$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $4 \sin^{2} (2 x) = 1$ durch $4$ .

$\frac{4 \sin^{2} (2 x)}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \sin^{2} (2 x)}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 1.2.1.2

Dividiere $\sin^{2} (2 x)$ durch $1$ .

$\sin^{2} (2 x) = \frac{1}{4}$

Schritt 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (2 x) = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Schritt 3

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

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Schritt 3.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{4}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ um.

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Schritt 3.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\sin (2 x) = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\sin (2 x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 3.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\sin (2 x) = \pm \frac{1}{2}$

Schritt 4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\sin (2 x) = \frac{1}{2}$

Schritt 4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\sin (2 x) = - \frac{1}{2}$

Schritt 4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\sin (2 x) = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Schritt 5

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sin (2 x) = \frac{1}{2}$

$\sin (2 x) = - \frac{1}{2}$

Schritt 6

Löse in $\sin (2 x) = \frac{1}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$2 x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Schritt 6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (\frac{1}{2})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$2 x = \frac{π}{6}$

Schritt 6.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{π}{6}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{π}{6}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Schritt 6.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Schritt 6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 6.3.3.2

Multipliziere $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 6.3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{6}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 2}$

Schritt 6.3.3.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$x = \frac{π}{12}$

Schritt 6.4

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$2 x = π - \frac{π}{6}$

Schritt 6.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.5.1

Vereinfache.

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Schritt 6.5.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$2 x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 6.5.1.2

Kombiniere $π$ und $\frac{6}{6}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 6.5.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 6.5.1.4

Subtrahiere $π$ von $π \cdot 6$ .

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Schritt 6.5.1.4.1

Stelle $π$ und $6$ um.

$2 x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Schritt 6.5.1.4.2

Subtrahiere $π$ von $6 \cdot π$ .

$2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$

Schritt 6.5.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 6.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Schritt 6.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Schritt 6.5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Schritt 6.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.5.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 6.5.2.3.2

Multipliziere $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 6.5.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{5 π}{6}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

Schritt 6.5.2.3.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Schritt 6.6

Ermittele die Periode von $\sin (2 x)$ .

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Schritt 6.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.6.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Schritt 6.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 6.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 6.6.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 6.7

Die Periode der Funktion $\sin (2 x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{12} + π n, \frac{5 π}{12} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 7

Löse in $\sin (2 x) = - \frac{1}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$2 x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Schritt 7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (- \frac{1}{2})$ ist $- \frac{π}{6}$ .

$2 x = - \frac{π}{6}$

Schritt 7.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - \frac{π}{6}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - \frac{π}{6}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Schritt 7.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Schritt 7.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Schritt 7.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = - \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 7.3.3.2

Multipliziere $- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 7.3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 6}$

Schritt 7.3.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$x = - \frac{π}{12}$

Schritt 7.4

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$2 x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Schritt 7.5

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 7.5.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$2 x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Schritt 7.5.2

Der resultierende Winkel von $\frac{7 π}{6}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$2 x = \frac{7 π}{6}$

Schritt 7.5.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{7 π}{6}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 7.5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{7 π}{6}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Schritt 7.5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Schritt 7.5.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Schritt 7.5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.5.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 7.5.3.3.2

Multipliziere $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 7.5.3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{7 π}{6}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 2}$

Schritt 7.5.3.3.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$x = \frac{7 π}{12}$

Schritt 7.6

Ermittele die Periode von $\sin (2 x)$ .

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Schritt 7.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.6.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Schritt 7.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 7.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 7.6.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 7.7

Addiere $π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 7.7.1

Addiere $π$ zu $- \frac{π}{12}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{12} + π$

Schritt 7.7.2

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{12}{12}$ .

$π \cdot \frac{12}{12} - \frac{π}{12}$

Schritt 7.7.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.7.3.1

Kombiniere $π$ und $\frac{12}{12}$ .

$\frac{π \cdot 12}{12} - \frac{π}{12}$

Schritt 7.7.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π \cdot 12 - π}{12}$

Schritt 7.7.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.7.4.1

Bringe $12$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{12 \cdot π - π}{12}$

Schritt 7.7.4.2

Subtrahiere $π$ von $12 π$ .

$\frac{11 π}{12}$

Schritt 7.7.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{11 π}{12}$

Schritt 7.8

Die Periode der Funktion $\sin (2 x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{7 π}{12} + π n, \frac{11 π}{12} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 8

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{π}{12} + π n, \frac{5 π}{12} + π n, \frac{7 π}{12} + π n, \frac{11 π}{12} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9

Fasse die Lösungen zusammen.

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Schritt 9.1

Führe $\frac{π}{12} + π n$ und $\frac{7 π}{12} + π n$ zu $\frac{π}{12} + \frac{π n}{2}$ zusammen.

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{12} + π n, \frac{11 π}{12} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9.2

Führe $\frac{5 π}{12} + π n$ und $\frac{11 π}{12} + π n$ zu $\frac{5 π}{12} + \frac{π n}{2}$ zusammen.

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{12} + \frac{π n}{2}$ , für jede ganze Zahl $n$