Trigonometrie Beispiele

$4 \cos^{2} (x) - 4 \sqrt{2} \cos (x) + 2 = 0$

Schritt 1

Ersetze $\cos (x)$ durch $u$ .

$4 {(u)}^{2} - 4 \sqrt{2} u + 2 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $2$ aus $4 u^{2} - 4 \sqrt{2} u + 2$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 u^{2}$ heraus.

$2 (2 u^{2}) - 4 \sqrt{2} u + 2 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4 \sqrt{2} u$ heraus.

$2 (2 u^{2}) + 2 (- 2 \sqrt{2} u) + 2 = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$2 (2 u^{2}) + 2 (- 2 \sqrt{2} u) + 2 (1) = 0$

Schritt 2.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 u^{2}) + 2 (- 2 \sqrt{2} u)$ heraus.

$2 (2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u) + 2 (1) = 0$

Schritt 2.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u) + 2 (1)$ heraus.

$2 (2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u + 1) = 0$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $2 (2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u + 1) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u + 1) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 (2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u + 1$ durch $1$ .

$2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u + 1 = \frac{0}{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u + 1 = 0$

Schritt 4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5

Setze die Werte $a = 2$ , $b = - 2 \sqrt{2}$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{{(- 2 \sqrt{2})}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 1)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Wende die Produktregel auf $- 2 \sqrt{2}$ an.

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.2

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{4 {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.3

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 6.1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{4 \cdot 2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.3.5

Berechne den Exponenten.

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{4 \cdot 2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{8 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.5

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Schritt 6.1.5.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{8 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.5.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{8 - 8}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.6

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.7

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{0^{2}}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm 0}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.9

$2 \sqrt{2}$ plus or minus $0$ is $2 \sqrt{2}$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2}}{4}$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 6.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{2}$ heraus.

$u = \frac{2 (\sqrt{2})}{4}$

Schritt 6.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$u = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$u = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 7

Ersetze $u$ durch $\cos (x)$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 8

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 9

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.1

Der genau Wert von $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ ist $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 10

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Schritt 11

Vereinfache $2 π - \frac{π}{4}$ .

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Schritt 11.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 11.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 11.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 11.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 11.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Schritt 11.3.2

Subtrahiere $π$ von $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Schritt 12

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 12.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 12.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 12.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 12.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 13

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$