Trigonometrie Beispiele

$f (2 x) = \frac{2 x}{2 x^{2} + 1}$

Schritt 1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 f x = \frac{2 x}{2 x^{2} + 1}$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, 2 x^{2} + 1$

Schritt 2.2

Entferne die Klammern.

$1, 2 x^{2} + 1$

Schritt 2.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$2 x^{2} + 1$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $2 f x = \frac{2 x}{2 x^{2} + 1}$ mit $2 x^{2} + 1$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $2 f x = \frac{2 x}{2 x^{2} + 1}$ mit $2 x^{2} + 1$ .

$2 f x (2 x^{2} + 1) = \frac{2 x}{2 x^{2} + 1} (2 x^{2} + 1)$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 f x (2 x^{2}) + 2 f x \cdot 1 = \frac{2 x}{2 x^{2} + 1} (2 x^{2} + 1)$

Schritt 3.2.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$2 f (x^{2} x) \cdot 2 + 2 f x \cdot 1 = \frac{2 x}{2 x^{2} + 1} (2 x^{2} + 1)$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 3.2.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 f (x^{2} x^{1}) \cdot 2 + 2 f x \cdot 1 = \frac{2 x}{2 x^{2} + 1} (2 x^{2} + 1)$

Schritt 3.2.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 f x^{2 + 1} \cdot 2 + 2 f x \cdot 1 = \frac{2 x}{2 x^{2} + 1} (2 x^{2} + 1)$

Schritt 3.2.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$2 f x^{3} \cdot 2 + 2 f x \cdot 1 = \frac{2 x}{2 x^{2} + 1} (2 x^{2} + 1)$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 f x^{3} \cdot 2 + 2 f x = \frac{2 x}{2 x^{2} + 1} (2 x^{2} + 1)$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 f x^{3} + 2 f x = \frac{2 x}{2 x^{2} + 1} (2 x^{2} + 1)$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x^{2} + 1$ .

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 f x^{3} + 2 f x = \frac{2 x}{2 x^{2} + 1} (2 x^{2} + 1)$

Schritt 3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$4 f x^{3} + 2 f x = 2 x$

Schritt 4

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 f x^{3} + 2 f x - 2 x = 0$

Schritt 4.2

Faktorisiere $2 x$ aus $4 f x^{3} + 2 f x - 2 x$ heraus.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $2 x$ aus $4 f x^{3}$ heraus.

$2 x (2 f x^{2}) + 2 f x - 2 x = 0$

Schritt 4.2.2

Faktorisiere $2 x$ aus $2 f x$ heraus.

$2 x (2 f x^{2}) + 2 x (f) - 2 x = 0$

Schritt 4.2.3

Faktorisiere $2 x$ aus $- 2 x$ heraus.

$2 x (2 f x^{2}) + 2 x (f) + 2 x (- 1) = 0$

Schritt 4.2.4

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (2 f x^{2}) + 2 x (f)$ heraus.

$2 x (2 f x^{2} + f) + 2 x (- 1) = 0$

Schritt 4.2.5

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (2 f x^{2} + f) + 2 x (- 1)$ heraus.

$2 x (2 f x^{2} + f - 1) = 0$

Schritt 4.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$2 f x^{2} + f - 1 = 0$

Schritt 4.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 4.5

Setze $2 f x^{2} + f - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.1

Setze $2 f x^{2} + f - 1$ gleich $0$ .

$2 f x^{2} + f - 1 = 0$

Schritt 4.5.2

Löse $2 f x^{2} + f - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.2.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.5.2.1.1

Subtrahiere $f$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 f x^{2} - 1 = - f$

Schritt 4.5.2.1.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 f x^{2} = - f + 1$

Schritt 4.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 f x^{2} = - f + 1$ durch $2 f$ und vereinfache.

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Schritt 4.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 f x^{2} = - f + 1$ durch $2 f$ .

$\frac{2 f x^{2}}{2 f} = \frac{- f}{2 f} + \frac{1}{2 f}$

Schritt 4.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 f x^{2}}{2 f} = \frac{- f}{2 f} + \frac{1}{2 f}$

Schritt 4.5.2.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{f x^{2}}{f} = \frac{- f}{2 f} + \frac{1}{2 f}$

Schritt 4.5.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $f$ .

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Schritt 4.5.2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{f x^{2}}{f} = \frac{- f}{2 f} + \frac{1}{2 f}$

Schritt 4.5.2.2.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- f}{2 f} + \frac{1}{2 f}$

Schritt 4.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.5.2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.5.2.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $f$ .

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Schritt 4.5.2.2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} = \frac{- f}{2 f} + \frac{1}{2 f}$

Schritt 4.5.2.2.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} = \frac{- 1}{2} + \frac{1}{2 f}$

Schritt 4.5.2.2.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} = - \frac{1}{2} + \frac{1}{2 f}$

Schritt 4.5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{2} + \frac{1}{2 f}}$

Schritt 4.5.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{1}{2} + \frac{1}{2 f}}$ .

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Schritt 4.5.2.4.1

Um $- \frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{f}{f}$ .

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{2} \cdot \frac{f}{f} + \frac{1}{2 f}}$

Schritt 4.5.2.4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{f}{f}$ .

$x = \pm \sqrt{- \frac{f}{2 f} + \frac{1}{2 f}}$

Schritt 4.5.2.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \pm \sqrt{\frac{- f + 1}{2 f}}$

Schritt 4.5.2.4.4

Schreibe $\sqrt{\frac{- f + 1}{2 f}}$ als $\frac{\sqrt{- f + 1}}{\sqrt{2 f}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{- f + 1}}{\sqrt{2 f}}$

Schritt 4.5.2.4.5

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{- f + 1}}{\sqrt{2 f}}$ mit $\frac{\sqrt{2 f}}{\sqrt{2 f}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{- f + 1}}{\sqrt{2 f}} \cdot \frac{\sqrt{2 f}}{\sqrt{2 f}}$

Schritt 4.5.2.4.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.5.2.4.6.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{- f + 1}}{\sqrt{2 f}}$ mit $\frac{\sqrt{2 f}}{\sqrt{2 f}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{- f + 1} \sqrt{2 f}}{\sqrt{2 f} \sqrt{2 f}}$

Schritt 4.5.2.4.6.2

Potenziere $\sqrt{2 f}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{- f + 1} \sqrt{2 f}}{{\sqrt{2 f}}^{1} \sqrt{2 f}}$

Schritt 4.5.2.4.6.3

Potenziere $\sqrt{2 f}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{- f + 1} \sqrt{2 f}}{{\sqrt{2 f}}^{1} {\sqrt{2 f}}^{1}}$

Schritt 4.5.2.4.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{\sqrt{- f + 1} \sqrt{2 f}}{{\sqrt{2 f}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.5.2.4.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{- f + 1} \sqrt{2 f}}{{\sqrt{2 f}}^{2}}$

Schritt 4.5.2.4.6.6

Schreibe ${\sqrt{2 f}}^{2}$ als $2 f$ um.

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Schritt 4.5.2.4.6.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 f}$ als ${(2 f)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{\sqrt{- f + 1} \sqrt{2 f}}{{({(2 f)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.5.2.4.6.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{- f + 1} \sqrt{2 f}}{{(2 f)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.5.2.4.6.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{- f + 1} \sqrt{2 f}}{{(2 f)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.5.2.4.6.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.5.2.4.6.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{\sqrt{- f + 1} \sqrt{2 f}}{{(2 f)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.5.2.4.6.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{\sqrt{- f + 1} \sqrt{2 f}}{{(2 f)}^{1}}$

Schritt 4.5.2.4.6.6.5

Vereinfache.

$x = \pm \frac{\sqrt{- f + 1} \sqrt{2 f}}{2 f}$

Schritt 4.5.2.4.7

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \pm \frac{\sqrt{(- f + 1) \cdot 2 f}}{2 f}$

Schritt 4.5.2.4.8

Stelle die Faktoren in $\pm \frac{\sqrt{(- f + 1) \cdot 2 f}}{2 f}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 f (- f + 1)}}{2 f}$

Schritt 4.5.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.5.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{2 f (- f + 1)}}{2 f}$

Schritt 4.5.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{2 f (- f + 1)}}{2 f}$

Schritt 4.5.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{2 f (- f + 1)}}{2 f}$

$x = - \frac{\sqrt{2 f (- f + 1)}}{2 f}$

$x = \frac{\sqrt{2 f (- f + 1)}}{2 f}$

$x = - \frac{\sqrt{2 f (- f + 1)}}{2 f}$

$x = \frac{\sqrt{2 f (- f + 1)}}{2 f}$

$x = - \frac{\sqrt{2 f (- f + 1)}}{2 f}$

$x = \frac{\sqrt{2 f (- f + 1)}}{2 f}$

$x = - \frac{\sqrt{2 f (- f + 1)}}{2 f}$

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 x (2 f x^{2} + f - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0$

$x = \frac{\sqrt{2 f (- f + 1)}}{2 f}$

$x = - \frac{\sqrt{2 f (- f + 1)}}{2 f}$

$x = 0$

$x = \frac{\sqrt{2 f (- f + 1)}}{2 f}$

$x = - \frac{\sqrt{2 f (- f + 1)}}{2 f}$