Trigonometrie Beispiele

$\sin (x) \cos (\frac{π}{7}) - \sin (\frac{π}{7}) \cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Berechne $\cos (\frac{π}{7})$ .

$\sin (x) \cdot 0.90096886 - \sin (\frac{π}{7}) \cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.2

Bringe $0.90096886$ auf die linke Seite von $\sin (x)$ .

$0.90096886 \cdot \sin (x) - \sin (\frac{π}{7}) \cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.3

Berechne $\sin (\frac{π}{7})$ .

$0.90096886 \sin (x) - 1 \cdot (0.43388373 \cos (x)) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.43388373$ .

$0.90096886 \sin (x) - 0.43388373 \cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 2

Wende die Identitätsgleichung an, um die Gleichung zu lösen. In dieser Identitätsgleichung stellt $θ$ den Winkel dar, der erzeugt wird durch Einzeichnen von Punkt $(a, b)$ auf einem Graphen und kann daher durch Anwenden von $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ ermittelt werden.

$a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$ , wobei $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ und $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$

Schritt 3

Stelle die Gleichung auf, um den Wert von $θ$ zu finden.

$\tan^{-1} (- \frac{0.43388373}{0.90096886})$

Schritt 4

Wende den inversen Tangens an, um die Gleichung nach $θ$ aufzulösen.

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Schritt 4.1

Dividiere $0.43388373$ durch $0.90096886$ .

$θ = \tan^{-1} (- 1 \cdot 0.48157461)$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.48157461$ .

$θ = \tan^{-1} (- 0.48157461)$

Schritt 4.3

Berechne $\tan^{-1} (- 0.48157461)$ .

$θ = - \frac{π}{7}$

Schritt 5

Löse, um den Wert von $R$ zu ermitteln.

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Schritt 5.1

Potenziere $0.90096886$ mit $2$ .

$R = \sqrt{0.8117449 + {(- 0.43388373)}^{2}}$

Schritt 5.2

Potenziere $- 0.43388373$ mit $2$ .

$R = \sqrt{0.8117449 + 0.18825509}$

Schritt 5.3

Addiere $0.8117449$ und $0.18825509$ .

$R = \sqrt{1}$

Schritt 6

Setze die bekannten Werte in die Gleichung ein.

$(\sqrt{1}) \sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $\sqrt{1} \sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ durch $\sqrt{1}$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $\sqrt{1} \sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ durch $\sqrt{1}$ .

$\frac{\sqrt{1} \sin (x - \frac{π}{7})}{\sqrt{1}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{1}}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{1}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{1} \sin (x - \frac{π}{7})}{\sqrt{1}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{1}}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $\sin (x - \frac{π}{7})$ durch $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{1}}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1}}$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{1}}$ mit $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1}}$ .

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{1}{\sqrt{1}} \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1}})$

Schritt 7.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{1}}$ mit $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1}}$ .

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1} \sqrt{1}}$

Schritt 7.3.3.2

Potenziere $\sqrt{1}$ mit $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{{\sqrt{1}}^{1} \sqrt{1}}$

Schritt 7.3.3.3

Potenziere $\sqrt{1}$ mit $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{{\sqrt{1}}^{1} {\sqrt{1}}^{1}}$

Schritt 7.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{{\sqrt{1}}^{1 + 1}}$

Schritt 7.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{{\sqrt{1}}^{2}}$

Schritt 7.3.3.6

Schreibe ${\sqrt{1}}^{2}$ als $1$ um.

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Schritt 7.3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1}$ als $1^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{{(1^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 7.3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{1^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 7.3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{1^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{1^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{1^{1}}$

Schritt 7.3.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{1}$

Schritt 7.3.4

Berechne die Wurzel.

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{1}$

Schritt 7.3.5

Dividiere $1$ durch $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1$

Schritt 7.3.6

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 8

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x - \frac{π}{7} = \sin^{-1} (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 9

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.1

Der genau Wert von $\sin^{-1} (\frac{\sqrt{2}}{2})$ ist $\frac{π}{4}$ .

$x - \frac{π}{7} = \frac{π}{4}$

Schritt 10

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 10.1

Addiere $\frac{π}{7}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π}{7}$

Schritt 10.2

Um $\frac{π}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{7}{7} + \frac{π}{7}$

Schritt 10.3

Um $\frac{π}{7}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{7}{7} + \frac{π}{7} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 10.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $28$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 10.4.1

Mutltipliziere $\frac{π}{4}$ mit $\frac{7}{7}$ .

$x = \frac{π \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{π}{7} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 10.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $7$ .

$x = \frac{π \cdot 7}{28} + \frac{π}{7} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 10.4.3

Mutltipliziere $\frac{π}{7}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 7}{28} + \frac{π \cdot 4}{7 \cdot 4}$

Schritt 10.4.4

Mutltipliziere $7$ mit $4$ .

$x = \frac{π \cdot 7}{28} + \frac{π \cdot 4}{28}$

Schritt 10.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 7 + π \cdot 4}{28}$

Schritt 10.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.6.1

Bringe $7$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{7 \cdot π + π \cdot 4}{28}$

Schritt 10.6.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{7 π + 4 \cdot π}{28}$

Schritt 10.6.3

Addiere $7 π$ und $4 π$ .

$x = \frac{11 π}{28}$

Schritt 11

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x - \frac{π}{7} = π - \frac{π}{4}$

Schritt 12

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Vereinfache $π - \frac{π}{4}$ .

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Schritt 12.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x - \frac{π}{7} = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 12.1.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 12.1.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$x - \frac{π}{7} = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 12.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x - \frac{π}{7} = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 12.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.1.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$x - \frac{π}{7} = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Schritt 12.1.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x - \frac{π}{7} = \frac{3 π}{4}$

Schritt 12.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 12.2.1

Addiere $\frac{π}{7}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{3 π}{4} + \frac{π}{7}$

Schritt 12.2.2

Um $\frac{3 π}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{7}{7} + \frac{π}{7}$

Schritt 12.2.3

Um $\frac{π}{7}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{7}{7} + \frac{π}{7} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 12.2.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $28$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 12.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{3 π}{4}$ mit $\frac{7}{7}$ .

$x = \frac{3 π \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{π}{7} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 12.2.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $7$ .

$x = \frac{3 π \cdot 7}{28} + \frac{π}{7} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 12.2.4.3

Mutltipliziere $\frac{π}{7}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{3 π \cdot 7}{28} + \frac{π \cdot 4}{7 \cdot 4}$

Schritt 12.2.4.4

Mutltipliziere $7$ mit $4$ .

$x = \frac{3 π \cdot 7}{28} + \frac{π \cdot 4}{28}$

Schritt 12.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{3 π \cdot 7 + π \cdot 4}{28}$

Schritt 12.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.2.6.1

Mutltipliziere $7$ mit $3$ .

$x = \frac{21 π + π \cdot 4}{28}$

Schritt 12.2.6.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{21 π + 4 \cdot π}{28}$

Schritt 12.2.6.3

Addiere $21 π$ und $4 π$ .

$x = \frac{25 π}{28}$

Schritt 13

Ermittele die Periode von $\sin (x - \frac{π}{7})$ .

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Schritt 13.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 13.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 13.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 13.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 14

Die Periode der Funktion $\sin (x - \frac{π}{7})$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{11 π}{28} + 2 π n, \frac{25 π}{28} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$