Trigonometrie Beispiele

$\sin (2 x + \sqrt{3}) \sin (x) = 0$

Schritt 1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\sin (2 x + \sqrt{3}) = 0$

$\sin (x) = 0$

Schritt 2

Setze $\sin (2 x + \sqrt{3})$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Setze $\sin (2 x + \sqrt{3})$ gleich $0$ .

$\sin (2 x + \sqrt{3}) = 0$

Schritt 2.2

Löse $\sin (2 x + \sqrt{3}) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$2 x + \sqrt{3} = \arcsin (0)$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$2 x + \sqrt{3} = 0$

Schritt 2.2.3

Subtrahiere $\sqrt{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - \sqrt{3}$

Schritt 2.2.4

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - \sqrt{3}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - \sqrt{3}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.2.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.2.5

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$2 x + \sqrt{3} = π - 0$

Schritt 2.2.6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.6.1

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$2 x + \sqrt{3} = π$

Schritt 2.2.6.2

Subtrahiere $\sqrt{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = π - \sqrt{3}$

Schritt 2.2.6.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = π - \sqrt{3}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = π - \sqrt{3}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2} + \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.2.6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.6.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2} + \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.2.6.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{π}{2} + \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.2.6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.6.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = \frac{π}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.2.7

Ermittele die Periode von $\sin (2 x + \sqrt{3})$ .

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Schritt 2.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.2.7.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Schritt 2.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 2.2.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 2.2.7.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 2.2.8

Addiere $π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 2.2.8.1

Addiere $π$ zu $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{\sqrt{3}}{2} + π$

Schritt 2.2.8.2

Liste die neuen Winkel auf.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{2} + π$

Schritt 2.2.9

Die Periode der Funktion $\sin (2 x + \sqrt{3})$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{2} + π + π n, \frac{π}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} + π + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3

Setze $\sin (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $\sin (x)$ gleich $0$ .

$\sin (x) = 0$

Schritt 3.2

Löse $\sin (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (0)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.2.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - 0$

Schritt 3.2.4

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$x = π$

Schritt 3.2.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 3.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 3.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 3.2.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 3.2.6

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $\sin (2 x + \sqrt{3}) \sin (x) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{2} + π + π n, \frac{π}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} + π + π n, 2 π n, π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5

Führe $2 π n$ und $π + 2 π n$ zu $π n$ zusammen.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{2} + π + π n, \frac{π}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} + π + π n, π n$ , für jede ganze Zahl $n$