Trigonometrie Beispiele

$\sin (x - \frac{π}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x - \frac{π}{2} = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Der genau Wert von $\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ ist $\frac{π}{4}$ .

$x - \frac{π}{2} = \frac{π}{4}$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Addiere $\frac{π}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π}{2}$

Schritt 3.2

Um $\frac{π}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π}{4} + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{4}$

Schritt 3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π + π \cdot 2}{4}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{π + 2 \cdot π}{4}$

Schritt 3.5.2

Addiere $π$ und $2 π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 4

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x - \frac{π}{2} = π - \frac{π}{4}$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache $π - \frac{π}{4}$ .

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Schritt 5.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x - \frac{π}{2} = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 5.1.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.1.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$x - \frac{π}{2} = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 5.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x - \frac{π}{2} = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 5.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$x - \frac{π}{2} = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Schritt 5.1.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x - \frac{π}{2} = \frac{3 π}{4}$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Addiere $\frac{π}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{3 π}{4} + \frac{π}{2}$

Schritt 5.2.2

Um $\frac{π}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{4} + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 5.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{4} + \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{3 π}{4} + \frac{π \cdot 2}{4}$

Schritt 5.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{3 π + π \cdot 2}{4}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.5.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{3 π + 2 \cdot π}{4}$

Schritt 5.2.5.2

Addiere $3 π$ und $2 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Schritt 6

Ermittele die Periode von $\sin (x - \frac{π}{2})$ .

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Schritt 6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 6.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 7

Die Periode der Funktion $\sin (x - \frac{π}{2})$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$