Trigonometrie Beispiele

$\sin (x) \cot (x) + \frac{1}{\sqrt{2}} = 0$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um, kürze dann die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.1

Stelle $\sin (x)$ und $\cot (x)$ um.

$\cot (x) \sin (x) + \frac{1}{\sqrt{2}} = 0$

Schritt 1.1.1.2

Schreibe $\sin (x) \cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x) + \frac{1}{\sqrt{2}} = 0$

Schritt 1.1.1.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$\cos (x) + \frac{1}{\sqrt{2}} = 0$

Schritt 1.1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 0$

Schritt 1.1.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} = 0$

Schritt 1.1.3.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\cos (x) + \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} = 0$

Schritt 1.1.3.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\cos (x) + \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} = 0$

Schritt 1.1.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (x) + \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} = 0$

Schritt 1.1.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos (x) + \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} = 0$

Schritt 1.1.3.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cos (x) + \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 0$

Schritt 1.1.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) + \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 0$

Schritt 1.1.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cos (x) + \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} = 0$

Schritt 1.1.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (x) + \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} = 0$

Schritt 1.1.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (x) + \frac{\sqrt{2}}{2^{1}} = 0$

Schritt 1.1.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\cos (x) + \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$

Schritt 2

Subtrahiere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Der genau Wert von $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ ist $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 5

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Schritt 6

Vereinfache $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Schritt 6.2

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Schritt 6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Schritt 6.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Schritt 6.3.2

Subtrahiere $3 π$ von $8 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Schritt 7

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 8

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$