Trigonometrie Beispiele

$\tan (2 x) - \tan (x) = 0$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Tangens an.

$\frac{2 \tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)} - \tan (x) = 0$

Schritt 1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{2 \tan (x)}{1^{2} - \tan^{2} (x)} - \tan (x) = 0$

Schritt 1.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \tan (x)$ .

$\frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - \tan (x) = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $\tan (x)$ aus $\frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - \tan (x)$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $\tan (x)$ aus $\frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}$ heraus.

$\tan (x) \frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - \tan (x) = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $\tan (x)$ aus $- \tan (x)$ heraus.

$\tan (x) \frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} + \tan (x) \cdot - 1 = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere $\tan (x)$ aus $\tan (x) \frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} + \tan (x) \cdot - 1$ heraus.

$\tan (x) (\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\tan (x) = 0$

$\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1 = 0$

Schritt 4

Setze $\tan (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $\tan (x)$ gleich $0$ .

$\tan (x) = 0$

Schritt 4.2

Löse $\tan (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (0)$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Der genau Wert von $\arctan (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 4.2.3

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = π + 0$

Schritt 4.2.4

Addiere $π$ und $0$ .

$x = π$

Schritt 4.2.5

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 4.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 4.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 4.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 4.2.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 4.2.6

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = π n, π + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5

Setze $\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1$ gleich $0$ .

$\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1 = 0$

Schritt 5.2

Löse $\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 5.2.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)), 1, 1$

Schritt 5.2.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))$

Schritt 5.2.2

Multipliziere jeden Term in $\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1 = 0$ mit $(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.2.2.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1 = 0$ mit $(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))$ .

$\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))) - ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))) - ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Schritt 5.2.2.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 - ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Multipliziere $(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.2.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 - (1 (1 - \tan (x)) + \tan (x) (1 - \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Schritt 5.2.2.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 - (1 \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + \tan (x) (1 - \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Schritt 5.2.2.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 - (1 \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Schritt 5.2.2.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.2.2.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.2.1.3.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$2 - (1 + 1 (- \tan (x)) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Schritt 5.2.2.2.1.3.1.2

Mutltipliziere $- \tan (x)$ mit $1$ .

$2 - (1 - \tan (x) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Schritt 5.2.2.2.1.3.1.3

Mutltipliziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$2 - (1 - \tan (x) + \tan (x) + \tan (x) (- \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Schritt 5.2.2.2.1.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 - (1 - \tan (x) + \tan (x) - \tan (x) \tan (x)) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Schritt 5.2.2.2.1.3.1.5

Multipliziere $\tan (x)$ mit $\tan (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.2.2.1.3.1.5.1

Bewege $\tan (x)$ .

$2 - (1 - \tan (x) + \tan (x) - (\tan (x) \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Schritt 5.2.2.2.1.3.1.5.2

Mutltipliziere $\tan (x)$ mit $\tan (x)$ .

$2 - (1 - \tan (x) + \tan (x) - \tan^{2} (x)) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Schritt 5.2.2.2.1.3.2

Addiere $- \tan (x)$ und $\tan (x)$ .

$2 - (1 + 0 - \tan^{2} (x)) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Schritt 5.2.2.2.1.3.3

Addiere $1$ und $0$ .

$2 - (1 - \tan^{2} (x)) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Schritt 5.2.2.2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$2 - 1 \cdot 1 - - \tan^{2} (x) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Schritt 5.2.2.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 - 1 - - \tan^{2} (x) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Schritt 5.2.2.2.1.6

Multipliziere $- - \tan^{2} (x)$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$2 - 1 + 1 \tan^{2} (x) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Schritt 5.2.2.2.1.6.2

Mutltipliziere $\tan^{2} (x)$ mit $1$ .

$2 - 1 + \tan^{2} (x) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Schritt 5.2.2.2.2

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$1 + \tan^{2} (x) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Schritt 5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.3.1

Multipliziere $(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.2.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 (1 - \tan (x)) + \tan (x) (1 - \tan (x)))$

Schritt 5.2.2.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + \tan (x) (1 - \tan (x)))$

Schritt 5.2.2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \tan (x)))$

Schritt 5.2.2.3.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.2.2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.3.2.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 + 1 (- \tan (x)) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \tan (x)))$

Schritt 5.2.2.3.2.1.2

Mutltipliziere $- \tan (x)$ mit $1$ .

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 - \tan (x) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \tan (x)))$

Schritt 5.2.2.3.2.1.3

Mutltipliziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 - \tan (x) + \tan (x) + \tan (x) (- \tan (x)))$

Schritt 5.2.2.3.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 - \tan (x) + \tan (x) - \tan (x) \tan (x))$

Schritt 5.2.2.3.2.1.5

Multipliziere $\tan (x)$ mit $\tan (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.2.3.2.1.5.1

Bewege $\tan (x)$ .

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 - \tan (x) + \tan (x) - (\tan (x) \tan (x)))$

Schritt 5.2.2.3.2.1.5.2

Mutltipliziere $\tan (x)$ mit $\tan (x)$ .

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 - \tan (x) + \tan (x) - \tan^{2} (x))$

Schritt 5.2.2.3.2.2

Addiere $- \tan (x)$ und $\tan (x)$ .

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 + 0 - \tan^{2} (x))$

Schritt 5.2.2.3.2.3

Addiere $1$ und $0$ .

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 - \tan^{2} (x))$

Schritt 5.2.2.3.3

Mutltipliziere $0$ mit $1 - \tan^{2} (x)$ .

$1 + \tan^{2} (x) = 0$

Schritt 5.2.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.2.3.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\tan^{2} (x) = - 1$

Schritt 5.2.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (x) = \pm \sqrt{- 1}$

Schritt 5.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$\tan (x) = \pm i$

Schritt 5.2.3.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.2.3.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\tan (x) = i$

Schritt 5.2.3.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\tan (x) = - i$

Schritt 5.2.3.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\tan (x) = i, - i$

Schritt 5.2.4

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\tan (x) = i$

$\tan (x) = - i$

Schritt 5.2.5

Löse in $\tan (x) = i$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.5.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (i)$

Schritt 5.2.5.2

Die inverse Tangente von $\arctan (i)$ ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 5.2.6

Löse in $\tan (x) = - i$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.6.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (- i)$

Schritt 5.2.6.2

Die inverse Tangente von $\arctan (- i)$ ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 5.2.7

Liste alle Lösungen auf.

Keine Lösung

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $\tan (x) (\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1) = 0$ wahr machen.

$x = π n, π + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 7

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = π n$ , für jede ganze Zahl $n$