Trigonometrie Beispiele

$\tan (\frac{a}{2}) = - \frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)}$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die $a$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Addiere $\frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\tan (\frac{a}{2}) + \frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)} = 0$

Schritt 1.2

Schreibe $\tan (\frac{a}{2})$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\sin (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2})} + \frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)} = 0$

Schritt 1.3

Um $\frac{\sin (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2})}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 + \cos (a)}{1 + \cos (a)}$ .

$\frac{\sin (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2})} \cdot \frac{1 + \cos (a)}{1 + \cos (a)} + \frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)} = 0$

Schritt 1.4

Um $\frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2})}$ .

$\frac{\sin (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2})} \cdot \frac{1 + \cos (a)}{1 + \cos (a)} + \frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)} \cdot \frac{\cos (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2})} = 0$

Schritt 1.5

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $\cos (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $\frac{\sin (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2})}$ mit $\frac{1 + \cos (a)}{1 + \cos (a)}$ .

$\frac{\sin (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))}{\cos (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))} + \frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)} \cdot \frac{\cos (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2})} = 0$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)}$ mit $\frac{\cos (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2})}$ .

$\frac{\sin (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))}{\cos (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))} + \frac{\sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2})}{(1 + \cos (a)) \cos (\frac{a}{2})} = 0$

Schritt 1.5.3

Stelle die Faktoren von $(1 + \cos (a)) \cos (\frac{a}{2})$ um.

$\frac{\sin (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))}{\cos (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))} + \frac{\sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))} = 0$

Schritt 1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sin (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a)) + \sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))} = 0$

Schritt 1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin (\frac{a}{2}) \cdot 1 + \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))} = 0$

Schritt 1.7.2

Mutltipliziere $\sin (\frac{a}{2})$ mit $1$ .

$\frac{\sin (\frac{a}{2}) + \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))} = 0$

Schritt 2

Setze den Zähler gleich Null.

$\sin (\frac{a}{2}) + \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2}) = 0$

Schritt 3

Löse die Gleichung nach $a$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $\sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2})$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $\sin (\frac{a}{2})$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sin (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2}) = - \sin (\frac{a}{2})$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $\sin (\frac{a}{2}) \cos (a)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2}) = - \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)$

Schritt 3.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(\sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2}))}^{2} = {(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 - \cos (a)}$ als ${(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}} \cos (\frac{a}{2}))}^{2} = {(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache ${({(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}} \cos (\frac{a}{2}))}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Wende die Produktregel auf ${(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}} \cos (\frac{a}{2})$ an.

${({(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}})}^{2} \cos^{2} (\frac{a}{2}) = {(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cos^{2} (\frac{a}{2}) = {(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cos^{2} (\frac{a}{2}) = {(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(1 - \cos (a))}^{1} \cos^{2} (\frac{a}{2}) = {(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.3

Vereinfache.

$(1 - \cos (a)) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = {(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = {(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.5

Mutltipliziere $\cos^{2} (\frac{a}{2})$ mit $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = {(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Vereinfache ${(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$ .

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Schritt 3.3.3.1.1

Schreibe ${(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$ als $(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) (- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$ um.

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = (- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) (- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Schritt 3.3.3.1.2

Multipliziere $(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) (- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = - \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Schritt 3.3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = - \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Schritt 3.3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

Schritt 3.3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.3.1.3.1.1

Multipliziere $- \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}))$ .

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Schritt 3.3.3.1.3.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = 1 \sin (\frac{a}{2}) \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Schritt 3.3.3.1.3.1.1.2

Mutltipliziere $\sin (\frac{a}{2})$ mit $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin (\frac{a}{2}) \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Schritt 3.3.3.1.3.1.1.3

Potenziere $\sin (\frac{a}{2})$ mit $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{1} (\frac{a}{2}) \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Schritt 3.3.3.1.3.1.1.4

Potenziere $\sin (\frac{a}{2})$ mit $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{1} (\frac{a}{2}) \sin^{1} (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Schritt 3.3.3.1.3.1.1.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = {\sin (\frac{a}{2})}^{1 + 1} - \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Schritt 3.3.3.1.3.1.1.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Schritt 3.3.3.1.3.1.2

Multipliziere $- \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$ .

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Schritt 3.3.3.1.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + 1 \sin (\frac{a}{2}) (\sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Schritt 3.3.3.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $\sin (\frac{a}{2})$ mit $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin (\frac{a}{2}) (\sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Schritt 3.3.3.1.3.1.2.3

Potenziere $\sin (\frac{a}{2})$ mit $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{1} (\frac{a}{2}) \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Schritt 3.3.3.1.3.1.2.4

Potenziere $\sin (\frac{a}{2})$ mit $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{1} (\frac{a}{2}) \sin^{1} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Schritt 3.3.3.1.3.1.2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + {\sin (\frac{a}{2})}^{1 + 1} \cos (a) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Schritt 3.3.3.1.3.1.2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Schritt 3.3.3.1.3.1.3

Multipliziere $- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}))$ .

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Schritt 3.3.3.1.3.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + 1 \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Schritt 3.3.3.1.3.1.3.2

Mutltipliziere $\sin (\frac{a}{2})$ mit $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Schritt 3.3.3.1.3.1.3.3

Potenziere $\sin (\frac{a}{2})$ mit $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{1} (\frac{a}{2}) \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Schritt 3.3.3.1.3.1.3.4

Potenziere $\sin (\frac{a}{2})$ mit $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{1} (\frac{a}{2}) \sin^{1} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Schritt 3.3.3.1.3.1.3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + {\sin (\frac{a}{2})}^{1 + 1} \cos (a) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Schritt 3.3.3.1.3.1.3.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Schritt 3.3.3.1.3.1.4

Multipliziere $- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$ .

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Schritt 3.3.3.1.3.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + 1 \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (\sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Schritt 3.3.3.1.3.1.4.2

Mutltipliziere $\sin (\frac{a}{2})$ mit $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (\sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Schritt 3.3.3.1.3.1.4.3

Potenziere $\sin (\frac{a}{2})$ mit $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{1} (\frac{a}{2}) \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) \cos (a)$

Schritt 3.3.3.1.3.1.4.4

Potenziere $\sin (\frac{a}{2})$ mit $1$ .

Schritt 3.3.3.1.3.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + {\sin (\frac{a}{2})}^{1 + 1} \cos (a) \cos (a)$

Schritt 3.3.3.1.3.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) \cos (a)$

Schritt 3.3.3.1.3.1.4.7

Potenziere $\cos (a)$ mit $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) (\cos^{1} (a) \cos (a))$

Schritt 3.3.3.1.3.1.4.8

Potenziere $\cos (a)$ mit $1$ .

Schritt 3.3.3.1.3.1.4.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) {\cos (a)}^{1 + 1}$

Schritt 3.3.3.1.3.1.4.10

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a)$

Schritt 3.3.3.1.3.2

Addiere $\sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a)$ und $\sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a)$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a)$

Schritt 3.4

Löse nach $a$ auf.

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Schritt 3.4.1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.1.1

Subtrahiere $\sin^{2} (\frac{a}{2})$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) = 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a)$

Schritt 3.4.1.2

Subtrahiere $2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a)$

Schritt 3.4.1.3

Subtrahiere $\sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

Schritt 3.4.2

Vereinfache $\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a)$ .

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Schritt 3.4.2.1

Bewege $- \sin^{2} (\frac{a}{2})$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

Schritt 3.4.2.2

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Kosinus an.

$\cos (2 \frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

Schritt 3.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (2 \frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

Schritt 3.4.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (a) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

Schritt 3.4.2.4

Multipliziere mit $1$ .

$\cos (a) \cdot 1 - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

Schritt 3.4.2.5

Faktorisiere $\cos (a)$ aus $- \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2})$ heraus.

$\cos (a) \cdot 1 + \cos (a) (- 1 \cos^{2} (\frac{a}{2})) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

Schritt 3.4.2.6

Faktorisiere $\cos (a)$ aus $\cos (a) \cdot 1 + \cos (a) (- 1 \cos^{2} (\frac{a}{2}))$ heraus.

$\cos (a) \cdot (1 - 1 \cos^{2} (\frac{a}{2})) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

Schritt 3.4.2.7

Schreibe $- 1 \cos^{2} (\frac{a}{2})$ als $- \cos^{2} (\frac{a}{2})$ um.

$\cos (a) \cdot (1 - \cos^{2} (\frac{a}{2})) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

Schritt 3.4.2.8

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\cos (a) \cdot \sin^{2} (\frac{a}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

Schritt 3.4.2.9

Stelle die Faktoren von $\cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2})$ um.

$\sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

Schritt 3.4.2.10

Subtrahiere $2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a)$ von $\sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a)$ .

$- \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $- \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2})$ aus $- \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a)$ heraus.

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Schritt 3.4.3.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 3.4.3.1.1

Bewege $\sin^{2} (\frac{a}{2})$ .

$- 1 \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

Schritt 3.4.3.1.2

Bewege $\sin^{2} (\frac{a}{2})$ .

$- 1 \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) - 1 \cos^{2} (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) = 0$

Schritt 3.4.3.1.3

Stelle $- 1 \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2})$ und $- 1 \cos^{2} (a) \sin^{2} (\frac{a}{2})$ um.

$- 1 \cos^{2} (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) - 1 \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) = 0$

Schritt 3.4.3.2

Faktorisiere $- \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2})$ aus $- 1 \cos^{2} (a) \sin^{2} (\frac{a}{2})$ heraus.

$- \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - 1 \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) = 0$

Schritt 3.4.3.3

Faktorisiere $- \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2})$ aus $- 1 \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2})$ heraus.

$- \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cdot 1 = 0$

Schritt 3.4.3.4

Faktorisiere $- \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2})$ aus $- \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cdot 1$ heraus.

$- \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) (\cos (a) + 1) = 0$

Schritt 3.4.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\cos (a) = 0$

$\sin^{2} (\frac{a}{2}) = 0$

$\cos (a) + 1 = 0$

Schritt 3.4.5

Setze $\cos (a)$ gleich $0$ und löse nach $a$ auf.

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Schritt 3.4.5.1

Setze $\cos (a)$ gleich $0$ .

$\cos (a) = 0$

Schritt 3.4.5.2

Löse $\cos (a) = 0$ nach $a$ auf.

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Schritt 3.4.5.2.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $a$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$a = \arccos (0)$

Schritt 3.4.5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.5.2.2.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$a = \frac{π}{2}$

Schritt 3.4.5.2.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$a = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 3.4.5.2.4

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 3.4.5.2.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$a = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 3.4.5.2.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.4.5.2.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$a = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 3.4.5.2.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$a = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 3.4.5.2.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.5.2.4.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$a = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 3.4.5.2.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$a = \frac{3 π}{2}$

Schritt 3.4.5.2.5

Ermittele die Periode von $\cos (a)$ .

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Schritt 3.4.5.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.4.5.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 3.4.5.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 3.4.5.2.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 3.4.5.2.6

Die Periode der Funktion $\cos (a)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$a = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3.4.6

Setze $\sin^{2} (\frac{a}{2})$ gleich $0$ und löse nach $a$ auf.

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Schritt 3.4.6.1

Setze $\sin^{2} (\frac{a}{2})$ gleich $0$ .

$\sin^{2} (\frac{a}{2}) = 0$

Schritt 3.4.6.2

Löse $\sin^{2} (\frac{a}{2}) = 0$ nach $a$ auf.

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Schritt 3.4.6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (\frac{a}{2}) = \pm \sqrt{0}$

Schritt 3.4.6.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 3.4.6.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\sin (\frac{a}{2}) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 3.4.6.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\sin (\frac{a}{2}) = \pm 0$

Schritt 3.4.6.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$\sin (\frac{a}{2}) = 0$

Schritt 3.4.6.2.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $a$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$\frac{a}{2} = \arcsin (0)$

Schritt 3.4.6.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.6.2.4.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$\frac{a}{2} = 0$

Schritt 3.4.6.2.5

Setze den Zähler gleich Null.

$a = 0$

Schritt 3.4.6.2.6

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$\frac{a}{2} = π - 0$

Schritt 3.4.6.2.7

Löse nach $a$ auf.

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Schritt 3.4.6.2.7.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{a}{2} = 2 (π - 0)$

Schritt 3.4.6.2.7.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.4.6.2.7.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.6.2.7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.6.2.7.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{a}{2} = 2 (π - 0)$

Schritt 3.4.6.2.7.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$a = 2 (π - 0)$

Schritt 3.4.6.2.7.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.6.2.7.2.2.1

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$a = 2 π$

Schritt 3.4.6.2.8

Ermittele die Periode von $\sin (\frac{a}{2})$ .

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Schritt 3.4.6.2.8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.4.6.2.8.2

Ersetze $b$ durch $\frac{1}{2}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Schritt 3.4.6.2.8.3

$\frac{1}{2}$ ist ungefähr $0.5$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.4.6.2.8.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \cdot 2$

Schritt 3.4.6.2.8.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 π$

Schritt 3.4.6.2.9

Die Periode der Funktion $\sin (\frac{a}{2})$ ist $4 π$ , d. h., Werte werden sich alle $4 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$a = 4 π n, 2 π + 4 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3.4.7

Setze $\cos (a) + 1$ gleich $0$ und löse nach $a$ auf.

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Schritt 3.4.7.1

Setze $\cos (a) + 1$ gleich $0$ .

$\cos (a) + 1 = 0$

Schritt 3.4.7.2

Löse $\cos (a) + 1 = 0$ nach $a$ auf.

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Schritt 3.4.7.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (a) = - 1$

Schritt 3.4.7.2.2

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $a$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$a = \arccos (- 1)$

Schritt 3.4.7.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.7.2.3.1

Der genau Wert von $\arccos (- 1)$ ist $π$ .

$a = π$

Schritt 3.4.7.2.4

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$a = 2 π - π$

Schritt 3.4.7.2.5

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$a = π$

Schritt 3.4.7.2.6

Ermittele die Periode von $\cos (a)$ .

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Schritt 3.4.7.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.4.7.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 3.4.7.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 3.4.7.2.6.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 3.4.7.2.7

Die Periode der Funktion $\cos (a)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$a = π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3.4.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) (\cos (a) + 1) = 0$ wahr machen.

$a = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 4 π n, 2 π + 4 π n, π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 4

Fasse die Ergebnisse zusammen.

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Schritt 4.1

Führe $\frac{π}{2} + 2 π n$ und $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ zu $\frac{π}{2} + π n$ zusammen.

$a = \frac{π}{2} + π n, 4 π n, 2 π + 4 π n, π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 4.2

Führe $4 π n$ und $2 π + 4 π n$ zu $2 π n$ zusammen.

$a = \frac{π}{2} + π n, 2 π n, π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 4.3

Führe $2 π n$ und $π + 2 π n$ zu $π n$ zusammen.

$a = \frac{π}{2} + π n, π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 4.4

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$a = \frac{π n}{2}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5

Verifiziere jede der Lösngen durch Einsetzen in $\tan (\frac{a}{2}) = - \frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)}$ und Auflösen.

$a = \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$