Trigonometrie Beispiele

$y = \frac{x}{x^{2} - 9}$

Schritt 1

Multipliziere die Gleichung mit $x^{2} - 9$ .

$(x^{2} - 9) (y) = (\frac{x}{x^{2} - 9}) (x^{2} - 9)$

Schritt 2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} y - 9 y = (\frac{x}{x^{2} - 9}) (x^{2} - 9)$

Schritt 3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache $(\frac{x}{x^{2} - 9}) (x^{2} - 9)$ .

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Schritt 3.1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1.1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x^{2} y - 9 y = \frac{x}{x^{2} - 3^{2}} (x^{2} - 9)$

Schritt 3.1.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$x^{2} y - 9 y = \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} (x^{2} - 9)$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $\frac{x}{(x + 3) (x - 3)}$ mit $x^{2} - 9$ .

$x^{2} y - 9 y = \frac{x (x^{2} - 9)}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 3.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.3.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x^{2} y - 9 y = \frac{x (x^{2} - 3^{2})}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 3.1.3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$x^{2} y - 9 y = \frac{x (x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 3.1.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 3$ .

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Schritt 3.1.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} y - 9 y = \frac{x (x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 3.1.4.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} y - 9 y = \frac{x (x - 3)}{x - 3}$

Schritt 3.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 3$ .

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Schritt 3.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} y - 9 y = \frac{x (x - 3)}{x - 3}$

Schritt 3.1.4.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x^{2} y - 9 y = x$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} y - 9 y - x = 0$

Schritt 4.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.3

Setze die Werte $a = y$ , $b = - 1$ und $c = - 9 y$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (y \cdot (- 9 y))}}{2 y}$

Schritt 4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.4.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot y \cdot (- 9 y)}}{2 y}$

Schritt 4.4.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 9 y \cdot y)}}{2 y}$

Schritt 4.4.3

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.4.3.1

Bewege $y$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 9 (y \cdot y))}}{2 y}$

Schritt 4.4.3.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 9 y^{2})}}{2 y}$

Schritt 4.4.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 9$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 36 y^{2}}}{2 y}$

Schritt 4.5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{1 + \sqrt{1 + 36 y^{2}}}{2 y}$

$x = \frac{1 - \sqrt{1 + 36 y^{2}}}{2 y}$

$x = \frac{1 + \sqrt{1 + 36 y^{2}}}{2 y}$

$x = \frac{1 - \sqrt{1 + 36 y^{2}}}{2 y}$