Trigonometrie Beispiele

$y = \frac{1}{2} \cdot \log (x + 1) - \log (2 x + 10)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{2} \cdot \log (x + 1) - \log (2 x + 10) = y$ um.

$\frac{1}{2} \cdot \log (x + 1) - \log (2 x + 10) = y$

Schritt 2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\log (x + 1)$ .

$\frac{\log (x + 1)}{2} - \log (2 x + 10) = y$

Schritt 3

Um $- \log (2 x + 10)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\log (x + 1)}{2} - \log (2 x + 10) \cdot \frac{2}{2} = y$

Schritt 4

Kombiniere $- \log (2 x + 10)$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\log (x + 1)}{2} + \frac{- \log (2 x + 10) \cdot 2}{2} = y$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\log (x + 1) - \log (2 x + 10) \cdot 2}{2} = y$

Schritt 6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{\log (x + 1) - 2 \log (2 x + 10)}{2} = y$

Schritt 7

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.1

Vereinfache $\frac{\log (x + 1) - 2 \log (2 x + 10)}{2}$ .

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Schritt 7.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1.1

Vereinfache $- 2 \log (2 x + 10)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{\log (x + 1) - \log ({(2 x + 10)}^{2})}{2} = y$

Schritt 7.1.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\log (\frac{x + 1}{{(2 x + 10)}^{2}})}{2} = y$

Schritt 7.1.1.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.1.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 10$ heraus.

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Schritt 7.1.1.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{\log (\frac{x + 1}{{(2 (x) + 10)}^{2}})}{2} = y$

Schritt 7.1.1.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$\frac{\log (\frac{x + 1}{{(2 x + 2 \cdot 5)}^{2}})}{2} = y$

Schritt 7.1.1.3.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2 \cdot 5$ heraus.

$\frac{\log (\frac{x + 1}{{(2 (x + 5))}^{2}})}{2} = y$

Schritt 7.1.1.3.2

Wende die Produktregel auf $2 (x + 5)$ an.

$\frac{\log (\frac{x + 1}{2^{2} {(x + 5)}^{2}})}{2} = y$

Schritt 7.1.1.3.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\log (\frac{x + 1}{4 {(x + 5)}^{2}})}{2} = y$

Schritt 7.1.2

Schreibe $\frac{\log (\frac{x + 1}{4 {(x + 5)}^{2}})}{2}$ als $\frac{1}{2} \log (\frac{x + 1}{4 {(x + 5)}^{2}})$ um.

$\frac{1}{2} \log (\frac{x + 1}{4 {(x + 5)}^{2}}) = y$

Schritt 7.1.3

Vereinfache $\frac{1}{2} \log (\frac{x + 1}{4 {(x + 5)}^{2}})$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$\log ({(\frac{x + 1}{4 {(x + 5)}^{2}})}^{\frac{1}{2}}) = y$

Schritt 7.1.4

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 7.1.4.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x + 1}{4 {(x + 5)}^{2}}$ an.

$\log (\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 {(x + 5)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) = y$

Schritt 7.1.4.2

Wende die Produktregel auf $4 {(x + 5)}^{2}$ an.

$\log (\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{4^{\frac{1}{2}} {({(x + 5)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) = y$

Schritt 7.1.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.1.5.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\log (\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}} {({(x + 5)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) = y$

Schritt 7.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log (\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{2 (\frac{1}{2})} {({(x + 5)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) = y$

Schritt 7.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.1.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log (\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{2 (\frac{1}{2})} {({(x + 5)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) = y$

Schritt 7.1.5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\log (\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{1} {({(x + 5)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) = y$

Schritt 7.1.5.4

Berechne den Exponenten.

$\log (\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {({(x + 5)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) = y$

Schritt 7.1.5.5

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 5)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 7.1.5.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log (\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 5)}^{2 (\frac{1}{2})}}) = y$

Schritt 7.1.5.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.1.5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log (\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 5)}^{2 (\frac{1}{2})}}) = y$

Schritt 7.1.5.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\log (\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 5)}^{1}}) = y$

Schritt 7.1.5.6

Vereinfache.

$\log (\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 (x + 5)}) = y$