Trigonometrie Beispiele

$y = x - 16 {(\frac{x}{\sqrt{2} \cdot 105})}^{2}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $x - 16 {(\frac{x}{\sqrt{2} \cdot 105})}^{2} = y$ um.

$x - 16 {(\frac{x}{\sqrt{2} \cdot 105})}^{2} = y$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Bringe $105$ auf die linke Seite von $\sqrt{2}$ .

$x - 16 {(\frac{x}{105 \sqrt{2}})}^{2} = y$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $\frac{x}{105 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x - 16 {(\frac{x}{105 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2} = y$

Schritt 2.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $\frac{x}{105 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x - 16 {(\frac{x \sqrt{2}}{105 \sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2} = y$

Schritt 2.3.2

Bewege $\sqrt{2}$ .

$x - 16 {(\frac{x \sqrt{2}}{105 (\sqrt{2} \sqrt{2})})}^{2} = y$

Schritt 2.3.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x - 16 {(\frac{x \sqrt{2}}{105 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})})}^{2} = y$

Schritt 2.3.4

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x - 16 {(\frac{x \sqrt{2}}{105 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})})}^{2} = y$

Schritt 2.3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x - 16 {(\frac{x \sqrt{2}}{105 {\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2} = y$

Schritt 2.3.6

Addiere $1$ und $1$ .

$x - 16 {(\frac{x \sqrt{2}}{105 {\sqrt{2}}^{2}})}^{2} = y$

Schritt 2.3.7

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 2.3.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x - 16 {(\frac{x \sqrt{2}}{105 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} = y$

Schritt 2.3.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x - 16 {(\frac{x \sqrt{2}}{105 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} = y$

Schritt 2.3.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x - 16 {(\frac{x \sqrt{2}}{105 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})}^{2} = y$

Schritt 2.3.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x - 16 {(\frac{x \sqrt{2}}{105 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})}^{2} = y$

Schritt 2.3.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x - 16 {(\frac{x \sqrt{2}}{105 \cdot 2^{1}})}^{2} = y$

Schritt 2.3.7.5

Berechne den Exponenten.

$x - 16 {(\frac{x \sqrt{2}}{105 \cdot 2})}^{2} = y$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $105$ mit $2$ .

$x - 16 {(\frac{x \sqrt{2}}{210})}^{2} = y$

Schritt 2.5

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.5.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x \sqrt{2}}{210}$ an.

$x - 16 \frac{{(x \sqrt{2})}^{2}}{210^{2}} = y$

Schritt 2.5.2

Wende die Produktregel auf $x \sqrt{2}$ an.

$x - 16 \frac{x^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{210^{2}} = y$

Schritt 2.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x - 16 \frac{x^{2} {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{210^{2}} = y$

Schritt 2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x - 16 \frac{x^{2} \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{210^{2}} = y$

Schritt 2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x - 16 \frac{x^{2} \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{210^{2}} = y$

Schritt 2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x - 16 \frac{x^{2} \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{210^{2}} = y$

Schritt 2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x - 16 \frac{x^{2} \cdot 2^{1}}{210^{2}} = y$

Schritt 2.6.5

Berechne den Exponenten.

$x - 16 \frac{x^{2} \cdot 2}{210^{2}} = y$

Schritt 2.7

Potenziere $210$ mit $2$ .

$x - 16 \frac{x^{2} \cdot 2}{44100} = y$

Schritt 2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.8.1

Faktorisiere $4$ aus $- 16$ heraus.

$x + 4 (- 4) \frac{x^{2} \cdot 2}{44100} = y$

Schritt 2.8.2

Faktorisiere $4$ aus $44100$ heraus.

$x + 4 \cdot - 4 \frac{x^{2} \cdot 2}{4 \cdot 11025} = y$

Schritt 2.8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x + 4 \cdot - 4 \frac{x^{2} \cdot 2}{4 \cdot 11025} = y$

Schritt 2.8.4

Forme den Ausdruck um.

$x - 4 \frac{x^{2} \cdot 2}{11025} = y$

Schritt 2.9

Kombiniere $- 4$ und $\frac{x^{2} \cdot 2}{11025}$ .

$x + \frac{- 4 (x^{2} \cdot 2)}{11025} = y$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$x + \frac{- 8 x^{2}}{11025} = y$

Schritt 2.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x - \frac{8 x^{2}}{11025} = y$

Schritt 3

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x - \frac{8 x^{2}}{11025} - y = 0$

Schritt 4

Multipliziere mit dem Hauptnenner $11025$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$11025 x + 11025 (- \frac{8 x^{2}}{11025}) + 11025 (- y) = 0$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $11025$ .

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Schritt 4.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{8 x^{2}}{11025}$ in den Zähler.

$11025 x + 11025 (\frac{- 8 x^{2}}{11025}) + 11025 (- y) = 0$

Schritt 4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$11025 x + 11025 (\frac{- 8 x^{2}}{11025}) + 11025 (- y) = 0$

Schritt 4.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$11025 x - 8 x^{2} + 11025 (- y) = 0$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $11025$ .

$11025 x - 8 x^{2} - 11025 y = 0$

Schritt 4.3

Bewege $11025 x$ .

$- 8 x^{2} - 11025 y + 11025 x = 0$

Schritt 5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6

Setze die Werte $a = - 8$ , $b = 11025$ und $c = - 11025 y$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 11025 \pm \sqrt{11025^{2} - 4 \cdot (- 8 \cdot (- 11025 y))}}{2 \cdot - 8}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $11025$ mit $2$ .

$x = \frac{- 11025 \pm \sqrt{121550625 - 4 \cdot - 8 \cdot (- 11025 y)}}{2 \cdot - 8}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 8 \cdot - 11025$ .

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 8$ .

$x = \frac{- 11025 \pm \sqrt{121550625 + 32 \cdot (- 11025 y)}}{2 \cdot - 8}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $32$ mit $- 11025$ .

$x = \frac{- 11025 \pm \sqrt{121550625 - 352800 y}}{2 \cdot - 8}$

Schritt 7.1.3

Faktorisiere $11025$ aus $121550625 - 352800 y$ heraus.

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Schritt 7.1.3.1

Faktorisiere $11025$ aus $121550625$ heraus.

$x = \frac{- 11025 \pm \sqrt{11025 (11025) - 352800 y}}{2 \cdot - 8}$

Schritt 7.1.3.2

Faktorisiere $11025$ aus $- 352800 y$ heraus.

$x = \frac{- 11025 \pm \sqrt{11025 (11025) + 11025 (- 32 y)}}{2 \cdot - 8}$

Schritt 7.1.3.3

Faktorisiere $11025$ aus $11025 (11025) + 11025 (- 32 y)$ heraus.

$x = \frac{- 11025 \pm \sqrt{11025 (11025 - 32 y)}}{2 \cdot - 8}$

Schritt 7.1.4

Schreibe $11025 (11025 - 32 y)$ als $105^{2} (105^{2} - 32 y)$ um.

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Schritt 7.1.4.1

Schreibe $11025$ als $105^{2}$ um.

$x = \frac{- 11025 \pm \sqrt{105^{2} (11025 - 32 y)}}{2 \cdot - 8}$

Schritt 7.1.4.2

Schreibe $11025$ als $105^{2}$ um.

$x = \frac{- 11025 \pm \sqrt{105^{2} (105^{2} - 32 y)}}{2 \cdot - 8}$

Schritt 7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 11025 \pm 105 \sqrt{105^{2} - 32 y}}{2 \cdot - 8}$

Schritt 7.1.6

Potenziere $105$ mit $2$ .

$x = \frac{- 11025 \pm 105 \sqrt{11025 - 32 y}}{2 \cdot - 8}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 8$ .

$x = \frac{- 11025 \pm 105 \sqrt{11025 - 32 y}}{- 16}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{- 11025 \pm 105 \sqrt{11025 - 32 y}}{- 16}$ .

$x = \frac{11025 \pm 105 \sqrt{11025 - 32 y}}{16}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{105 (105 + \sqrt{11025 - 32 y})}{16}$

$x = \frac{105 (105 - \sqrt{11025 - 32 y})}{16}$