Trigonometrie Beispiele

Wandle in Mengen-Notation um sin(2x)>cos(2x)
Schritt 1
Löse .
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Schritt 1.1
Teile jeden Term in der Gleichung durch .
Schritt 1.2
Wandle von nach um.
Schritt 1.3
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 1.3.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.3.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.4
Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Tangens herauszuziehen.
Schritt 1.5
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 1.5.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 1.6
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 1.6.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 1.6.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 1.6.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 1.6.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.6.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 1.6.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 1.6.3.1
Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.
Schritt 1.6.3.2
Multipliziere .
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Schritt 1.6.3.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.6.3.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.7
Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.
Schritt 1.8
Löse nach auf.
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Schritt 1.8.1
Vereinfache.
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Schritt 1.8.1.1
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 1.8.1.2
Kombiniere und .
Schritt 1.8.1.3
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 1.8.1.4
Addiere und .
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Schritt 1.8.1.4.1
Stelle und um.
Schritt 1.8.1.4.2
Addiere und .
Schritt 1.8.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 1.8.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 1.8.2.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 1.8.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 1.8.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.8.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 1.8.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 1.8.2.3.1
Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.
Schritt 1.8.2.3.2
Multipliziere .
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Schritt 1.8.2.3.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.8.2.3.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.9
Ermittele die Periode von .
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Schritt 1.9.1
Die Periode der Funktion kann mithilfe von berechnet werden.
Schritt 1.9.2
Ersetze durch in der Formel für die Periode.
Schritt 1.9.3
Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen und ist .
Schritt 1.10
Die Periode der Funktion ist , d. h., Werte werden sich alle rad in beide Richtungen wiederholen.
, für jede Ganzzahl
Schritt 1.11
Fasse die Ergebnisse zusammen.
, für jede Ganzzahl
Schritt 1.12
Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.
Schritt 1.13
Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.
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Schritt 1.13.1
Teste einen Wert im Intervall , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.
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Schritt 1.13.1.1
Wähle einen Wert aus dem Intervall und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.
Schritt 1.13.1.2
Ersetze durch in der ursprünglichen Ungleichung.
Schritt 1.13.1.3
Die linke Seite ist größer als die rechte Seite , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.
Wahr
Wahr
Schritt 1.13.2
Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.
Wahr
Wahr
Schritt 1.14
Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
Schritt 2
Verwende die Ungleichung , um die Mengenschreibweise aufzustellen.
Schritt 3