Trigonometrie Beispiele

$\frac{\sin (30)}{x} = \frac{\sin (60)}{y}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\frac{\sin (60)}{y} = \frac{\sin (30)}{x}$ um.

$\frac{\sin (60)}{y} = \frac{\sin (30)}{x}$

Schritt 2

Faktorisiere jeden Term.

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Schritt 2.1

Der genau Wert von $\sin (60)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{y} = \frac{\sin (30)}{x}$

Schritt 2.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{y} = \frac{\sin (30)}{x}$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 y} = \frac{\sin (30)}{x}$

Schritt 2.4

Der genau Wert von $\sin (30)$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 y} = \frac{\frac{1}{2}}{x}$

Schritt 2.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{\sqrt{3}}{2 y} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 y} = \frac{1}{2 x}$

Schritt 3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$2 y, 2 x$

Schritt 3.2

Da $2 y, 2 x$ sowohl Zahlen als auch Variablen enthält, sind zwei Schritte notwendig, um das kgV zu finden. Finde das kgV für den numerischen Teil $2, 2$ und anschließend für den variablen Teil $y^{1}, x^{1}$ .

Schritt 3.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 3.4

Da $2$ keine Teiler außer $1$ und $2$ hat.

$2$ ist eine Primzahl

Schritt 3.5

Das kgV von $2, 2$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$2$

Schritt 3.6

Der Teiler von $y^{1}$ ist $y$ selbst.

$y^{1} = y$

$y$ occurs $1$ time.

Schritt 3.7

Der Teiler von $x^{1}$ ist $x$ selbst.

$x^{1} = x$

$x$ occurs $1$ time.

Schritt 3.8

Das kgV von $y^{1}, x^{1}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$y \cdot x$

Schritt 3.9

Mutltipliziere $y$ mit $x$ .

$y x$

Schritt 3.10

Das kgV von $2 y, 2 x$ ist der numerische Teil $2$ multipliziert mit dem variablen Teil.

$2 y x$

Schritt 4

Multipliziere jeden Term in $\frac{\sqrt{3}}{2 y} = \frac{1}{2 x}$ mit $2 y x$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{\sqrt{3}}{2 y} = \frac{1}{2 x}$ mit $2 y x$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 y} (2 y x) = \frac{1}{2 x} (2 y x)$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \frac{\sqrt{3}}{2 y} (y x) = \frac{1}{2 x} (2 y x)$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y$ heraus.

$2 \frac{\sqrt{3}}{2 (y)} (y x) = \frac{1}{2 x} (2 y x)$

Schritt 4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{\sqrt{3}}{2 y} (y x) = \frac{1}{2 x} (2 y x)$

Schritt 4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{3}}{y} (y x) = \frac{1}{2 x} (2 y x)$

Schritt 4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 4.2.3.1

Faktorisiere $y$ aus $y x$ heraus.

$\frac{\sqrt{3}}{y} (y (x)) = \frac{1}{2 x} (2 y x)$

Schritt 4.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{3}}{y} (y x) = \frac{1}{2 x} (2 y x)$

Schritt 4.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{3} x = \frac{1}{2 x} (2 y x)$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\sqrt{3} x = 2 \frac{1}{2 x} (y x)$

Schritt 4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\sqrt{3} x = 2 \frac{1}{2 (x)} (y x)$

Schritt 4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{3} x = 2 \frac{1}{2 x} (y x)$

Schritt 4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{3} x = \frac{1}{x} (y x)$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.3.3.1

Faktorisiere $x$ aus $y x$ heraus.

$\sqrt{3} x = \frac{1}{x} (x y)$

Schritt 4.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{3} x = \frac{1}{x} (x y)$

Schritt 4.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{3} x = y$

Schritt 5

Schreibe die Gleichung als $y = \sqrt{3} x$ um.

$y = \sqrt{3} x$

Schritt 6

Vertausche die Variablen.

$x = \sqrt{3} y$

Schritt 7

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 7.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{3} y = x$ um.

$\sqrt{3} y = x$

Schritt 7.2

Teile jeden Ausdruck in $\sqrt{3} y = x$ durch $\sqrt{3}$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Teile jeden Ausdruck in $\sqrt{3} y = x$ durch $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} y}{\sqrt{3}} = \frac{x}{\sqrt{3}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{3}$ .

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Schritt 7.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{3} y}{\sqrt{3}} = \frac{x}{\sqrt{3}}$

Schritt 7.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x}{\sqrt{3}}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{x}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \frac{x}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 7.2.3.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{x}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \frac{x \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 7.2.3.2.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$y = \frac{x \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 7.2.3.2.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$y = \frac{x \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 7.2.3.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{x \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 7.2.3.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \frac{x \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 7.2.3.2.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 7.2.3.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{x \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 7.2.3.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{x \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 7.2.3.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = \frac{x \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.2.3.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.3.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.2.3.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x \sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 7.2.3.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$y = \frac{x \sqrt{3}}{3}$

Schritt 8

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{x \sqrt{3}}{3}$

Schritt 9

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x \sqrt{3}}{3}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sqrt{3} x$ ist.

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Schritt 9.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 9.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 9.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 9.2.2

Berechne $f^{- 1} (\sqrt{3} x)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{(\sqrt{3} x) \sqrt{3}}{3}$

Schritt 9.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.2.3.1

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{x (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3}$

Schritt 9.2.3.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{x (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3}$

Schritt 9.2.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{x {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3}$

Schritt 9.2.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{x {\sqrt{3}}^{2}}{3}$

Schritt 9.2.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 9.2.4.1

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 9.2.4.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{x {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3}$

Schritt 9.2.4.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{x \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3}$

Schritt 9.2.4.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{x \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3}$

Schritt 9.2.4.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.2.4.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{x \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3}$

Schritt 9.2.4.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{x \cdot 3}{3}$

Schritt 9.2.4.1.5

Berechne den Exponenten.

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{x \cdot 3}{3}$

Schritt 9.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = \frac{x \cdot 3}{3}$

Schritt 9.2.4.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3} x) = x$

Schritt 9.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 9.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 9.3.2

Berechne $f (\frac{x \sqrt{3}}{3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \sqrt{3} (\frac{x \sqrt{3}}{3})$

Schritt 9.3.3

Multipliziere $\sqrt{3} (\frac{x \sqrt{3}}{3})$ .

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Schritt 9.3.3.1

Kombiniere $\sqrt{3}$ und $\frac{x \sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3} (x \sqrt{3})}{3}$

Schritt 9.3.3.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{x (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3}$

Schritt 9.3.3.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{x (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3}$

Schritt 9.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{x {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3}$

Schritt 9.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{x {\sqrt{3}}^{2}}{3}$

Schritt 9.3.4

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 9.3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{x {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3}$

Schritt 9.3.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{x \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3}$

Schritt 9.3.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{x \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3}$

Schritt 9.3.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{x \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3}$

Schritt 9.3.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{x \cdot 3}{3}$

Schritt 9.3.4.5

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{x \cdot 3}{3}$

Schritt 9.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = \frac{x \cdot 3}{3}$

Schritt 9.3.5.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (\frac{x \sqrt{3}}{3}) = x$

Schritt 9.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x \sqrt{3}}{3}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \sqrt{3} x$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x \sqrt{3}}{3}$