Trigonometrie Beispiele

Ermittle die Umkehrfunktion (sec(x)+tan(x)csc(x))/(tan(x))
Schritt 1
Vertausche die Variablen.
Schritt 2
Löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1
Schreibe die Gleichung als um.
Schritt 2.2
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.1
Vereinfache .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.1.1
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.1.1.1
Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um, kürze dann die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.1.1.1.1
Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um.
Schritt 2.2.1.1.1.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Schritt 2.2.1.1.2
Wandle von nach um.
Schritt 2.2.1.1.3
Addiere und .
Schritt 2.2.1.2
Separiere Brüche.
Schritt 2.2.1.3
Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um.
Schritt 2.2.1.4
Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um.
Schritt 2.2.1.5
Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch zu dividieren.
Schritt 2.2.1.6
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.1.6.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.2.1.6.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 2.2.1.7
Wandle von nach um.
Schritt 2.2.1.8
Dividiere durch .
Schritt 2.3
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.3.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 2.3.2
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.3.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.3.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.3.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 2.4
Wende den inversen Kosekans auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Kosekans herauszuziehen.
Schritt 3
Replace with to show the final answer.
Schritt 4
Überprüfe, ob die Umkehrfunktion von ist.
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Schritt 4.1
Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob ist und ist.
Schritt 4.2
Berechne .
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Schritt 4.2.1
Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.
Schritt 4.2.2
Berechne durch Einsetzen des Wertes von in .
Schritt 4.2.3
Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.
Schritt 4.2.4
Vereinfache den Zähler.
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Schritt 4.2.4.1
Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um, kürze dann die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.4.1.1
Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um.
Schritt 4.2.4.1.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Schritt 4.2.4.2
Wandle von nach um.
Schritt 4.2.4.3
Addiere und .
Schritt 4.2.5
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 4.2.5.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.2.5.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.2.5.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.2.6
Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um.
Schritt 4.2.7
Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um.
Schritt 4.2.8
Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch zu dividieren.
Schritt 4.2.9
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 4.2.9.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.2.9.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.2.10
Wandle von nach um.
Schritt 4.3
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.1
Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.
Schritt 4.3.2
Berechne durch Einsetzen des Wertes von in .
Schritt 4.3.3
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.3.1
Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten , und dem Ursprung. Dann ist der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch verläuft. Folglich ist .
Schritt 4.3.3.2
Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.
Schritt 4.3.3.3
Kombinieren.
Schritt 4.3.3.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3.3.5
Vereinfache den Nenner.
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Schritt 4.3.3.5.1
Schreibe als um.
Schritt 4.3.3.5.2
Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, , mit und .
Schritt 4.3.3.5.3
Vereinfache.
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Schritt 4.3.3.5.3.1
Schreibe als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.3.3.5.3.2
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.3.3.5.3.3
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 4.3.3.5.3.4
Kombiniere und .
Schritt 4.3.3.5.3.5
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.3.3.5.3.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3.3.5.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3.3.5.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3.3.5.6
Schreibe als um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.3.5.6.1
Faktorisiere die perfekte Potenz aus heraus.
Schritt 4.3.3.5.6.2
Faktorisiere die perfekte Potenz aus heraus.
Schritt 4.3.3.5.6.3
Ordne den Bruch um.
Schritt 4.3.3.5.7
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.
Schritt 4.3.3.5.8
Kombiniere und .
Schritt 4.3.3.6
Kombiniere und .
Schritt 4.3.3.7
Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.
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Schritt 4.3.3.7.1
Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.
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Schritt 4.3.3.7.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.3.3.7.1.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.3.3.7.2
Dividiere durch .
Schritt 4.3.3.8
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3.3.9
Vereinige und vereinfache den Nenner.
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Schritt 4.3.3.9.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3.3.9.2
Potenziere mit .
Schritt 4.3.3.9.3
Potenziere mit .
Schritt 4.3.3.9.4
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 4.3.3.9.5
Addiere und .
Schritt 4.3.3.9.6
Schreibe als um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.3.9.6.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 4.3.3.9.6.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 4.3.3.9.6.3
Kombiniere und .
Schritt 4.3.3.9.6.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.3.9.6.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.3.3.9.6.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.3.3.9.6.5
Vereinfache.
Schritt 4.3.3.10
Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um, kürze dann die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.3.10.1
Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um.
Schritt 4.3.3.10.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Schritt 4.3.3.11
Wandle von nach um.
Schritt 4.3.3.12
Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten , und dem Ursprung. Dann ist der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch verläuft. Folglich ist .
Schritt 4.3.3.13
Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.
Schritt 4.3.3.14
Kombinieren.
Schritt 4.3.3.15
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3.3.16
Vereinfache den Nenner.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.3.16.1
Schreibe als um.
Schritt 4.3.3.16.2
Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, , mit und .
Schritt 4.3.3.16.3
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.3.16.3.1
Schreibe als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.3.3.16.3.2
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.3.3.16.3.3
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 4.3.3.16.3.4
Kombiniere und .
Schritt 4.3.3.16.3.5
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.3.3.16.3.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3.3.16.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3.3.16.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3.3.16.6
Schreibe als um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.3.16.6.1
Faktorisiere die perfekte Potenz aus heraus.
Schritt 4.3.3.16.6.2
Faktorisiere die perfekte Potenz aus heraus.
Schritt 4.3.3.16.6.3
Ordne den Bruch um.
Schritt 4.3.3.16.7
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.
Schritt 4.3.3.16.8
Kombiniere und .
Schritt 4.3.3.17
Kombiniere und .
Schritt 4.3.3.18
Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.3.18.1
Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.3.18.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.3.3.18.1.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.3.3.18.2
Dividiere durch .
Schritt 4.3.3.19
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3.3.20
Vereinige und vereinfache den Nenner.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.3.20.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3.3.20.2
Potenziere mit .
Schritt 4.3.3.20.3
Potenziere mit .
Schritt 4.3.3.20.4
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 4.3.3.20.5
Addiere und .
Schritt 4.3.3.20.6
Schreibe als um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.3.20.6.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 4.3.3.20.6.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 4.3.3.20.6.3
Kombiniere und .
Schritt 4.3.3.20.6.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.3.20.6.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.3.3.20.6.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.3.3.20.6.5
Vereinfache.
Schritt 4.3.3.21
Addiere und .
Schritt 4.3.4
Vereinfache den Nenner.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.4.1
Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten , und dem Ursprung. Dann ist der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch verläuft. Folglich ist .
Schritt 4.3.4.2
Vereinfache den Nenner.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.4.2.1
Schreibe als um.
Schritt 4.3.4.2.2
Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, , mit und .
Schritt 4.3.4.2.3
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.4.2.3.1
Schreibe als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.3.4.2.3.2
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.3.4.2.3.3
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 4.3.4.2.3.4
Kombiniere und .
Schritt 4.3.4.2.3.5
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.3.4.2.3.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3.4.2.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3.4.2.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3.4.2.6
Schreibe als um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.4.2.6.1
Faktorisiere die perfekte Potenz aus heraus.
Schritt 4.3.4.2.6.2
Faktorisiere die perfekte Potenz aus heraus.
Schritt 4.3.4.2.6.3
Ordne den Bruch um.
Schritt 4.3.4.2.7
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.
Schritt 4.3.4.2.8
Kombiniere und .
Schritt 4.3.4.3
Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.
Schritt 4.3.4.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3.4.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3.4.6
Vereinige und vereinfache den Nenner.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.4.6.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3.4.6.2
Potenziere mit .
Schritt 4.3.4.6.3
Potenziere mit .
Schritt 4.3.4.6.4
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 4.3.4.6.5
Addiere und .
Schritt 4.3.4.6.6
Schreibe als um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.4.6.6.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 4.3.4.6.6.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 4.3.4.6.6.3
Kombiniere und .
Schritt 4.3.4.6.6.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.4.6.6.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.3.4.6.6.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.3.4.6.6.5
Vereinfache.
Schritt 4.3.5
Kombiniere und .
Schritt 4.3.6
Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.
Schritt 4.3.7
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.7.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.3.7.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.3.7.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.3.8
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.8.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.3.8.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.4
Da und gleich sind, ist die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von .