Trigonometrie Beispiele

$\frac{\sec (x)}{\csc (x)}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{\sec (y)}{\csc (y)}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{\sec (y)}{\csc (y)} = x$ um.

$\frac{\sec (y)}{\csc (y)} = x$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $\frac{\sec (y)}{\csc (y)}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Schreibe $\csc (y)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\sec (y)}{\frac{1}{\sin (y)}} = x$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe $\sec (y)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\frac{1}{\cos (y)}}{\frac{1}{\sin (y)}} = x$

Schritt 2.2.1.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\sin (y)}$ zu dividieren.

$\frac{\sin (y)}{\cos (y)} = x$

Schritt 2.2.1.4

Wandle von $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ nach $\tan (y)$ um.

$\tan (y) = x$

Schritt 2.3

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$y = \arctan (x)$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \arctan (x)$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \arctan (x)$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{\sec (x)}{\csc (x)}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{\sec (x)}{\csc (x)})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sec (x)}{\csc (x)}) = \arctan (\frac{\sec (x)}{\csc (x)})$

Schritt 4.2.3

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$f^{- 1} (\frac{\sec (x)}{\csc (x)}) = \arctan (\frac{\sec (x)}{\frac{1}{\sin (x)}})$

Schritt 4.2.4

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$f^{- 1} (\frac{\sec (x)}{\csc (x)}) = \arctan (\frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\frac{1}{\sin (x)}})$

Schritt 4.2.5

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\sin (x)}$ zu dividieren.

$f^{- 1} (\frac{\sec (x)}{\csc (x)}) = \arctan (\frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Schritt 4.2.6

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$f^{- 1} (\frac{\sec (x)}{\csc (x)}) = \arctan (\tan (x))$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\arctan (x))$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\arctan (x)) = \frac{\sec (\arctan (x))}{\csc (\arctan (x))}$

Schritt 4.3.3

Schreibe $\csc (\arctan (x))$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$f (\arctan (x)) = \frac{\sec (\arctan (x))}{\frac{1}{\sin (\arctan (x))}}$

Schritt 4.3.4

Schreibe $\sec (\arctan (x))$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$f (\arctan (x)) = \frac{\frac{1}{\cos (\arctan (x))}}{\frac{1}{\sin (\arctan (x))}}$

Schritt 4.3.5

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\sin (\arctan (x))}$ zu dividieren.

$f (\arctan (x)) = \frac{\sin (\arctan (x))}{\cos (\arctan (x))}$

Schritt 4.3.6

Wandle von $\frac{\sin (\arctan (x))}{\cos (\arctan (x))}$ nach $\tan (\arctan (x))$ um.

$f (\arctan (x)) = \tan (\arctan (x))$

Schritt 4.3.7

Die Funktionen Tangens und Arkustangens sind Inverse.

$f (\arctan (x)) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \arctan (x)$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{\sec (x)}{\csc (x)}$ .

$f^{- 1} (x) = \arctan (x)$