Trigonometrie Beispiele

$f^{- 1} (81)$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$f = y^{- 1} (81)$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $y^{- 1} \cdot 81 = f$ um.

$y^{- 1} \cdot 81 = f$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $y^{- 1} \cdot 81 = f$ durch $81$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $y^{- 1} \cdot 81 = f$ durch $81$ .

$\frac{y^{- 1} \cdot 81}{81} = \frac{f}{81}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Bringe $y^{- 1}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{81}{81 y} = \frac{f}{81}$

Schritt 2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $81$ .

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Schritt 2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{81}{81 y} = \frac{f}{81}$

Schritt 2.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} = \frac{f}{81}$

Schritt 2.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y, 81$

Schritt 2.3.2

Since $y, 81$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 81$ then find LCM for the variable part $y^{1}$ .

Schritt 2.3.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 2.3.4

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 2.3.5

Die Primfaktoren von $81$ sind $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$ .

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Schritt 2.3.5.1

$81$ hat Faktoren von $3$ und $27$ .

$3 \cdot 27$

Schritt 2.3.5.2

$27$ hat Faktoren von $3$ und $9$ .

$3 \cdot 3 \cdot 9$

Schritt 2.3.5.3

$9$ hat Faktoren von $3$ und $3$ .

$3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$

Schritt 2.3.6

Multipliziere $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$ .

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Schritt 2.3.6.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$9 \cdot 3 \cdot 3$

Schritt 2.3.6.2

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$27 \cdot 3$

Schritt 2.3.6.3

Mutltipliziere $27$ mit $3$ .

$81$

Schritt 2.3.7

Der Teiler von $y^{1}$ ist $y$ selbst.

$y^{1} = y$

$y$ occurs $1$ time.

Schritt 2.3.8

Das kgV von $y^{1}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$y$

Schritt 2.3.9

Das kgV von $y, 81$ ist der numerische Teil $81$ multipliziert mit dem variablen Teil.

$81 y$

Schritt 2.4

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{y} = \frac{f}{81}$ mit $81 y$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{y} = \frac{f}{81}$ mit $81 y$ .

$\frac{1}{y} (81 y) = \frac{f}{81} (81 y)$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$81 \frac{1}{y} y = \frac{f}{81} (81 y)$

Schritt 2.4.2.2

Kombiniere $81$ und $\frac{1}{y}$ .

$\frac{81}{y} y = \frac{f}{81} (81 y)$

Schritt 2.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 2.4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{81}{y} y = \frac{f}{81} (81 y)$

Schritt 2.4.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$81 = \frac{f}{81} (81 y)$

Schritt 2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$81 = 81 \frac{f}{81} y$

Schritt 2.4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $81$ .

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Schritt 2.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$81 = 81 \frac{f}{81} y$

Schritt 2.4.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$81 = f y$

Schritt 2.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.5.1

Schreibe die Gleichung als $f y = 81$ um.

$f y = 81$

Schritt 2.5.2

Teile jeden Ausdruck in $f y = 81$ durch $f$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $f y = 81$ durch $f$ .

$\frac{f y}{f} = \frac{81}{f}$

Schritt 2.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $f$ .

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Schritt 2.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{f y}{f} = \frac{81}{f}$

Schritt 2.5.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{81}{f}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (f)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (f) = \frac{81}{f}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (f) = \frac{81}{f}$ die Umkehrfunktion von $f (f) = f^{- 1} (81)$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (f)) = f$ ist und $f (f^{- 1} (f)) = f$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (f))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (f))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (f^{- 1} (81))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (f^{- 1} (81)) = \frac{81}{f^{- 1} (81)}$

Schritt 4.2.3

Bringe $f^{- 1}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$f^{- 1} (f^{- 1} (81)) = \frac{81 f}{81}$

Schritt 4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $81$ .

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Schritt 4.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (f^{- 1} (81)) = \frac{81 f}{81}$

Schritt 4.2.4.2

Dividiere $f$ durch $1$ .

$f^{- 1} (f^{- 1} (81)) = f$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (f))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (f))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{81}{f})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{81}{f}) = {(\frac{81}{f})}^{- 1} (81)$

Schritt 4.3.3

Ändere das Vorzeichen des Exponenten durch Umschreiben der Basis als ihren Kehrwert.

$f (\frac{81}{f}) = \frac{f}{81} \cdot 81$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $81$ .

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Schritt 4.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{81}{f}) = \frac{f}{81} \cdot 81$

Schritt 4.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{81}{f}) = f$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (f)) = f$ und $f (f^{- 1} (f)) = f$ gleich sind, ist $f^{- 1} (f) = \frac{81}{f}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (f) = f^{- 1} (81)$ .

$f^{- 1} (f) = \frac{81}{f}$