Trigonometrie Beispiele

${\cos (\frac{150}{400})}^{a}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$a = {\cos (\frac{150}{400})}^{y}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als ${\cos (\frac{150}{400})}^{y} = a$ um.

${\cos (\frac{150}{400})}^{y} = a$

Schritt 2.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln ({\cos (\frac{150}{400})}^{y}) = \ln (a)$

Schritt 2.3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.3.1

Zerlege $\ln ({\cos (\frac{150}{400})}^{y})$ durch Herausziehen von $y$ aus dem Logarithmus.

$y \ln (\cos (\frac{150}{400})) = \ln (a)$

Schritt 2.3.2

Vereinfache den Ausdruck $\frac{150}{400}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.1

Faktorisiere $50$ aus $150$ heraus.

$y \ln (\cos (\frac{50 (3)}{400})) = \ln (a)$

Schritt 2.3.2.2

Faktorisiere $50$ aus $400$ heraus.

$y \ln (\cos (\frac{50 \cdot 3}{50 \cdot 8})) = \ln (a)$

Schritt 2.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y \ln (\cos (\frac{50 \cdot 3}{50 \cdot 8})) = \ln (a)$

Schritt 2.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$y \ln (\cos (\frac{3}{8})) = \ln (a)$

Schritt 2.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.1

Berechne $\cos (\frac{3}{8})$ .

$y \ln (0.93050762) = \ln (a)$

Schritt 2.5

Teile jeden Ausdruck in $y \ln (0.93050762) = \ln (a)$ durch $\ln (0.93050762)$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Teile jeden Ausdruck in $y \ln (0.93050762) = \ln (a)$ durch $\ln (0.93050762)$ .

$\frac{y \ln (0.93050762)}{\ln (0.93050762)} = \frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (0.93050762)$ .

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Schritt 2.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \ln (0.93050762)}{\ln (0.93050762)} = \frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}$

Schritt 2.5.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (a)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (a) = \frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (a) = \frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}$ die Umkehrfunktion von $f (a) = {\cos (\frac{150}{400})}^{a}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (a)) = a$ ist und $f (f^{- 1} (a)) = a$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (a))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (a))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} ({\cos (\frac{150}{400})}^{a})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({\cos (\frac{150}{400})}^{a}) = \frac{\ln ({\cos (\frac{150}{400})}^{a})}{\ln (0.93050762)}$

Schritt 4.2.3

Zerlege $\ln ({\cos (\frac{150}{400})}^{a})$ durch Herausziehen von $a$ aus dem Logarithmus.

$f^{- 1} ({\cos (\frac{150}{400})}^{a}) = \frac{a \ln (\cos (\frac{150}{400}))}{\ln (0.93050762)}$

Schritt 4.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $150$ und $400$ .

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Schritt 4.2.4.1

Faktorisiere $50$ aus $150$ heraus.

$f^{- 1} ({\cos (\frac{150}{400})}^{a}) = \frac{a \ln (\cos (\frac{50 (3)}{400}))}{\ln (0.93050762)}$

Schritt 4.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.4.2.1

Faktorisiere $50$ aus $400$ heraus.

$f^{- 1} ({\cos (\frac{150}{400})}^{a}) = \frac{a \ln (\cos (\frac{50 \cdot 3}{50 \cdot 8}))}{\ln (0.93050762)}$

Schritt 4.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} ({\cos (\frac{150}{400})}^{a}) = \frac{a \ln (\cos (\frac{50 \cdot 3}{50 \cdot 8}))}{\ln (0.93050762)}$

Schritt 4.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} ({\cos (\frac{150}{400})}^{a}) = \frac{a \ln (\cos (\frac{3}{8}))}{\ln (0.93050762)}$

Schritt 4.2.5

Berechne $\cos (\frac{3}{8})$ .

$f^{- 1} ({\cos (\frac{150}{400})}^{a}) = \frac{a \ln (0.93050762)}{\ln (0.93050762)}$

Schritt 4.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (0.93050762)$ .

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Schritt 4.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} ({\cos (\frac{150}{400})}^{a}) = \frac{a \ln (0.93050762)}{\ln (0.93050762)}$

Schritt 4.2.6.2

Dividiere $a$ durch $1$ .

$f^{- 1} ({\cos (\frac{150}{400})}^{a}) = a$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (a))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (a))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}) = {\cos (\frac{150}{400})}^{\frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}}$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $150$ und $400$ .

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Schritt 4.3.3.1

Faktorisiere $50$ aus $150$ heraus.

$f (\frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}) = {\cos (\frac{50 (3)}{400})}^{\frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}}$

Schritt 4.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.3.2.1

Faktorisiere $50$ aus $400$ heraus.

$f (\frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}) = {\cos (\frac{50 \cdot 3}{50 \cdot 8})}^{\frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}}$

Schritt 4.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}) = {\cos (\frac{50 \cdot 3}{50 \cdot 8})}^{\frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}}$

Schritt 4.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}) = {\cos (\frac{3}{8})}^{\frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}}$

Schritt 4.3.4

Berechne $\cos (\frac{3}{8})$ .

$f (\frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}) = {0.93050762}^{\frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}}$

Schritt 4.3.5

Nutze die Änderung der Basis-Regel $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}) = {0.93050762}^{\log_{0.93050762} (a)}$

Schritt 4.3.6

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (\frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}) = a$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (a)) = a$ und $f (f^{- 1} (a)) = a$ gleich sind, ist $f^{- 1} (a) = \frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (a) = {\cos (\frac{150}{400})}^{a}$ .

$f^{- 1} (a) = \frac{\ln (a)}{\ln (0.93050762)}$