Trigonometrie Beispiele

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (x)}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{\cos (2 y)}{\sin (y)}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{\cos (2 y)}{\sin (y)} = x$ um.

$\frac{\cos (2 y)}{\sin (y)} = x$

Schritt 2.2

Multipliziere beide Seiten mit $\sin (y)$ .

$\frac{\cos (2 y)}{\sin (y)} \sin (y) = x \sin (y)$

Schritt 2.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (y)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (2 y)}{\sin (y)} \sin (y) = x \sin (y)$

Schritt 2.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (2 y) = x \sin (y)$

Schritt 2.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.4.1

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (2 x)$ nach $1 - 2 \sin^{2} (x)$ zu transformieren.

$1 - 2 \sin^{2} (y) = x \sin (y)$

Schritt 2.4.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 \sin^{2} (y) = x \sin (y) - 1$

Schritt 2.4.3

Subtrahiere $x \sin (y)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 \sin^{2} (y) - x \sin (y) = - 1$

Schritt 2.4.4

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

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Schritt 2.4.4.1

Ersetze $\sin (y)$ durch $u$ .

$- 2 {(u)}^{2} - x u = - 1$

Schritt 2.4.4.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 u^{2} - x u + 1 = 0$

Schritt 2.4.4.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.4.4.4

Setze die Werte $a = - 2$ , $b = - x$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{x \pm \sqrt{{(- x)}^{2} - 4 \cdot (- 2 \cdot 1)}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 2.4.4.5

Vereinfache.

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Schritt 2.4.4.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.4.5.1.1

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$u = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 2.4.4.5.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 2.4.4.5.1.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 2.4.4.5.1.4

Multipliziere $- 4 \cdot - 2 \cdot 1$ .

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Schritt 2.4.4.5.1.4.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 2.4.4.5.1.4.2

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 2.4.4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{- 4}$

Schritt 2.4.4.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$u = - \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

Schritt 2.4.4.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.4.4.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.4.6.1.1

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$u = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 2.4.4.6.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 2.4.4.6.1.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 2.4.4.6.1.4

Multipliziere $- 4 \cdot - 2 \cdot 1$ .

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Schritt 2.4.4.6.1.4.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 2.4.4.6.1.4.2

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 2.4.4.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{- 4}$

Schritt 2.4.4.6.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$u = - \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

Schritt 2.4.4.6.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$u = - \frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

Schritt 2.4.4.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.4.4.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.4.7.1.1

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$u = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 2.4.4.7.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 2.4.4.7.1.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 2.4.4.7.1.4

Multipliziere $- 4 \cdot - 2 \cdot 1$ .

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Schritt 2.4.4.7.1.4.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 2.4.4.7.1.4.2

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 2.4.4.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{- 4}$

Schritt 2.4.4.7.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$u = - \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

Schritt 2.4.4.7.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$u = - \frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

Schritt 2.4.4.8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = - \frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

$u = - \frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

Schritt 2.4.4.9

Ersetze $u$ durch $\sin (y)$ .

$\sin (y) = - \frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4}, - \frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

Schritt 2.4.4.10

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $y$ aufzulösen.

$\sin (y) = - \frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

$\sin (y) = - \frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

Schritt 2.4.4.11

Löse in $\sin (y) = - \frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$ nach $y$ auf.

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Schritt 2.4.4.11.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$y = \arcsin (- \frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Schritt 2.4.4.11.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.4.11.2.1

Vereinfache $\arcsin (- \frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ .

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Schritt 2.4.4.11.2.1.1

Zerlege den Bruch $\frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$ in zwei Brüche.

$y = \arcsin (- (\frac{x}{4} + \frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4}))$

Schritt 2.4.4.11.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \arcsin (- \frac{x}{4} - \frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Schritt 2.4.4.11.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.4.11.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Schritt 2.4.4.12

Löse in $\sin (y) = - \frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$ nach $y$ auf.

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Schritt 2.4.4.12.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$y = \arcsin (- \frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Schritt 2.4.4.12.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.4.12.2.1

Vereinfache $\arcsin (- \frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ .

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Schritt 2.4.4.12.2.1.1

Zerlege den Bruch $\frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$ in zwei Brüche.

$y = \arcsin (- (\frac{x}{4} + \frac{- \sqrt{x^{2} + 8}}{4}))$

Schritt 2.4.4.12.2.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \arcsin (- (\frac{x}{4} - \frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4}))$

Schritt 2.4.4.12.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \arcsin (- \frac{x}{4} - - \frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Schritt 2.4.4.12.2.1.4

Multipliziere $- - \frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4}$ .

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Schritt 2.4.4.12.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = \arcsin (- \frac{x}{4} + 1 \frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Schritt 2.4.4.12.2.1.4.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4}$ mit $1$ .

$y = \arcsin (- \frac{x}{4} + \frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Schritt 2.4.4.12.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.4.12.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Schritt 2.4.4.13

Liste alle Lösungen auf.

$y = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

$y = \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

$y = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

$y = \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

$y = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

$y = \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

$y = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

$y = \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}), \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}), \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{\cos (2 x)}{\sin (x)}$ ist.

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Schritt 4.1

Der Definitionsbereich der Inversen (Umkehrfunktion) ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt. Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich von $f (x) = \frac{\cos (2 x)}{\sin (x)}$ und $f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}), \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ und vergleiche sie.

Schritt 4.2

Finde den Wertebereich von $f (x) = \frac{\cos (2 x)}{\sin (x)}$ .

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Schritt 4.2.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

Schritt 4.3

Find the domain of the inverse.

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Schritt 4.3.1

Bestimme den Definitionsbereich von $\arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ .

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Schritt 4.3.1.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x^{2} + 8}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} + 8 \geq 0$

Schritt 4.3.1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.1.2.1

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x^{2} \geq - 8$

Schritt 4.3.1.2.2

Da die linke Seite eine gerade Potenz aufweist, ist sie immer positiv für alle reellen Zahlen.

Alle reellen Zahlen

Schritt 4.3.1.3

Setze das Argument in $\arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ größer oder gleich $- 1$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck definiert ist.

$\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \geq - 1$

Schritt 4.3.1.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.1.4.1

Multipliziere beide Seiten mit $4$ .

$\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \geq - 1 \cdot 4$

Schritt 4.3.1.4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1.4.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.1.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.3.1.4.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \geq - 1 \cdot 4$

Schritt 4.3.1.4.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$- x - \sqrt{x^{2} + 8} \geq - 1 \cdot 4$

Schritt 4.3.1.4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1.4.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- x - \sqrt{x^{2} + 8} \geq - 4$

Schritt 4.3.1.4.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.1.4.3.1

Addiere $x$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$- \sqrt{x^{2} + 8} \geq - 4 + x$

Schritt 4.3.1.4.3.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${(- \sqrt{x^{2} + 8})}^{2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Schritt 4.3.1.4.3.3

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 4.3.1.4.3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} + 8}$ als ${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(- {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Schritt 4.3.1.4.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.1.4.3.3.2.1

Vereinfache ${(- {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.3.1.4.3.3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ an.

${(- 1)}^{2} {({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Schritt 4.3.1.4.3.3.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 {({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Schritt 4.3.1.4.3.3.2.1.3

Mutltipliziere ${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ mit $1$ .

${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Schritt 4.3.1.4.3.3.2.1.4

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.3.1.4.3.3.2.1.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Schritt 4.3.1.4.3.3.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.1.4.3.3.2.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Schritt 4.3.1.4.3.3.2.1.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x^{2} + 8)}^{1} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Schritt 4.3.1.4.3.3.2.1.5

Vereinfache.

$x^{2} + 8 \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Schritt 4.3.1.4.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1.4.3.3.3.1

Vereinfache ${(- 4 + x)}^{2}$ .

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Schritt 4.3.1.4.3.3.3.1.1

Schreibe ${(- 4 + x)}^{2}$ als $(- 4 + x) (- 4 + x)$ um.

$x^{2} + 8 \geq (- 4 + x) (- 4 + x)$

Schritt 4.3.1.4.3.3.3.1.2

Multipliziere $(- 4 + x) (- 4 + x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.3.1.4.3.3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 8 \geq - 4 (- 4 + x) + x (- 4 + x)$

Schritt 4.3.1.4.3.3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 8 \geq - 4 \cdot - 4 - 4 x + x (- 4 + x)$

Schritt 4.3.1.4.3.3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 8 \geq - 4 \cdot - 4 - 4 x + x \cdot - 4 + x \cdot x$

Schritt 4.3.1.4.3.3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.3.1.4.3.3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.4.3.3.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$x^{2} + 8 \geq 16 - 4 x + x \cdot - 4 + x \cdot x$

Schritt 4.3.1.4.3.3.3.1.3.1.2

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} + 8 \geq 16 - 4 x - 4 \cdot x + x \cdot x$

Schritt 4.3.1.4.3.3.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + 8 \geq 16 - 4 x - 4 x + x^{2}$

Schritt 4.3.1.4.3.3.3.1.3.2

Subtrahiere $4 x$ von $- 4 x$ .

$x^{2} + 8 \geq 16 - 8 x + x^{2}$

Schritt 4.3.1.4.3.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.1.4.3.4.1

Stelle so um, dass $x$ auf der linken Seite der Ungleichung steht.

$16 - 8 x + x^{2} \leq x^{2} + 8$

Schritt 4.3.1.4.3.4.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Ungleichung.

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Schritt 4.3.1.4.3.4.2.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$16 - 8 x + x^{2} - x^{2} \leq 8$

Schritt 4.3.1.4.3.4.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $16 - 8 x + x^{2} - x^{2}$ .

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Schritt 4.3.1.4.3.4.2.2.1

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$16 - 8 x + 0 \leq 8$

Schritt 4.3.1.4.3.4.2.2.2

Addiere $16 - 8 x$ und $0$ .

$16 - 8 x \leq 8$

Schritt 4.3.1.4.3.4.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 4.3.1.4.3.4.3.1

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- 8 x \leq 8 - 16$

Schritt 4.3.1.4.3.4.3.2

Subtrahiere $16$ von $8$ .

$- 8 x \leq - 8$

Schritt 4.3.1.4.3.4.4

Teile jeden Ausdruck in $- 8 x \leq - 8$ durch $- 8$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.1.4.3.4.4.1

Teile jeden Term in $- 8 x \leq - 8$ durch $- 8$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- 8 x}{- 8} \geq \frac{- 8}{- 8}$

Schritt 4.3.1.4.3.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.1.4.3.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 8$ .

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Schritt 4.3.1.4.3.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 8 x}{- 8} \geq \frac{- 8}{- 8}$

Schritt 4.3.1.4.3.4.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{- 8}{- 8}$

Schritt 4.3.1.4.3.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1.4.3.4.4.3.1

Dividiere $- 8$ durch $- 8$ .

$x \geq 1$

Schritt 4.3.1.4.4

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq 1$

Schritt 4.3.1.5

Setze das Argument in $\arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ kleiner oder gleich $1$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck definiert ist.

$\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \leq 1$

Schritt 4.3.1.6

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.6.1

Multipliziere beide Seiten mit $4$ .

$\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \leq 1 \cdot 4$

Schritt 4.3.1.6.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.6.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \leq 1 \cdot 4$

Schritt 4.3.1.6.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$- x - \sqrt{x^{2} + 8} \leq 1 \cdot 4$

Schritt 4.3.1.6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.6.2.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$- x - \sqrt{x^{2} + 8} \leq 4$

Schritt 4.3.1.6.3

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.6.3.1

Addiere $x$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$- \sqrt{x^{2} + 8} \leq 4 + x$

Schritt 4.3.1.6.3.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${(- \sqrt{x^{2} + 8})}^{2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Schritt 4.3.1.6.3.3

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.6.3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} + 8}$ als ${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(- {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Schritt 4.3.1.6.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.6.3.3.2.1

Vereinfache ${(- {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.6.3.3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ an.

${(- 1)}^{2} {({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Schritt 4.3.1.6.3.3.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 {({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Schritt 4.3.1.6.3.3.2.1.3

Mutltipliziere ${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ mit $1$ .

${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Schritt 4.3.1.6.3.3.2.1.4

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.6.3.3.2.1.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Schritt 4.3.1.6.3.3.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.6.3.3.2.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Schritt 4.3.1.6.3.3.2.1.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x^{2} + 8)}^{1} \leq {(4 + x)}^{2}$

Schritt 4.3.1.6.3.3.2.1.5

Vereinfache.

$x^{2} + 8 \leq {(4 + x)}^{2}$

Schritt 4.3.1.6.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.6.3.3.3.1

Vereinfache ${(4 + x)}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.6.3.3.3.1.1

Schreibe ${(4 + x)}^{2}$ als $(4 + x) (4 + x)$ um.

$x^{2} + 8 \leq (4 + x) (4 + x)$

Schritt 4.3.1.6.3.3.3.1.2

Multipliziere $(4 + x) (4 + x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.6.3.3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 8 \leq 4 (4 + x) + x (4 + x)$

Schritt 4.3.1.6.3.3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 8 \leq 4 \cdot 4 + 4 x + x (4 + x)$

Schritt 4.3.1.6.3.3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 8 \leq 4 \cdot 4 + 4 x + x \cdot 4 + x \cdot x$

Schritt 4.3.1.6.3.3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.6.3.3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.6.3.3.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$x^{2} + 8 \leq 16 + 4 x + x \cdot 4 + x \cdot x$

Schritt 4.3.1.6.3.3.3.1.3.1.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} + 8 \leq 16 + 4 x + 4 \cdot x + x \cdot x$

Schritt 4.3.1.6.3.3.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + 8 \leq 16 + 4 x + 4 x + x^{2}$

Schritt 4.3.1.6.3.3.3.1.3.2

Addiere $4 x$ und $4 x$ .

$x^{2} + 8 \leq 16 + 8 x + x^{2}$

Schritt 4.3.1.6.3.4

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.6.3.4.1

Stelle so um, dass $x$ auf der linken Seite der Ungleichung steht.

$16 + 8 x + x^{2} \geq x^{2} + 8$

Schritt 4.3.1.6.3.4.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Ungleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.6.3.4.2.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$16 + 8 x + x^{2} - x^{2} \geq 8$

Schritt 4.3.1.6.3.4.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $16 + 8 x + x^{2} - x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.6.3.4.2.2.1

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$16 + 8 x + 0 \geq 8$

Schritt 4.3.1.6.3.4.2.2.2

Addiere $16 + 8 x$ und $0$ .

$16 + 8 x \geq 8$

Schritt 4.3.1.6.3.4.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.6.3.4.3.1

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$8 x \geq 8 - 16$

Schritt 4.3.1.6.3.4.3.2

Subtrahiere $16$ von $8$ .

$8 x \geq - 8$

Schritt 4.3.1.6.3.4.4

Teile jeden Ausdruck in $8 x \geq - 8$ durch $8$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.6.3.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $8 x \geq - 8$ durch $8$ .

$\frac{8 x}{8} \geq \frac{- 8}{8}$

Schritt 4.3.1.6.3.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.6.3.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.6.3.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 x}{8} \geq \frac{- 8}{8}$

Schritt 4.3.1.6.3.4.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{- 8}{8}$

Schritt 4.3.1.6.3.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.6.3.4.4.3.1

Dividiere $- 8$ durch $8$ .

$x \geq - 1$

Schritt 4.3.1.6.4

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 1$

$x > - 1$

Schritt 4.3.1.6.5

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.6.5.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.6.5.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 4.3.1.6.5.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{- (- 4) - \sqrt{{(- 4)}^{2} + 8}}{4} \leq 1$

Schritt 4.3.1.6.5.1.3

Die linke Seite $- 0.22474487$ ist kleiner als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 4.3.1.6.5.2

Teste einen Wert im Intervall $x > - 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.6.5.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > - 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 4.3.1.6.5.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{- (0) - \sqrt{{(0)}^{2} + 8}}{4} \leq 1$

Schritt 4.3.1.6.5.2.3

Die linke Seite $- 0.70710678$ ist kleiner als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 4.3.1.6.5.3

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 1$ Wahr

$x > - 1$ Wahr

$x < - 1$ Wahr

$x > - 1$ Wahr

Schritt 4.3.1.6.6

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq - 1$ oder $x \geq - 1$

Schritt 4.3.1.6.7

Vereine die Intervalle.

Alle reellen Zahlen

Schritt 4.3.1.7

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 1]$

Schritt 4.3.2

Bestimme den Definitionsbereich von $\arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x^{2} + 8}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} + 8 \geq 0$

Schritt 4.3.2.2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.2.1

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x^{2} \geq - 8$

Schritt 4.3.2.2.2

Da die linke Seite eine gerade Potenz aufweist, ist sie immer positiv für alle reellen Zahlen.

Alle reellen Zahlen

Schritt 4.3.2.3

Setze das Argument in $\arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ größer oder gleich $- 1$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck definiert ist.

$\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \geq - 1$

Schritt 4.3.2.4

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.4.1

Multipliziere beide Seiten mit $4$ .

$\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \geq - 1 \cdot 4$

Schritt 4.3.2.4.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.4.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.4.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \geq - 1 \cdot 4$

Schritt 4.3.2.4.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$- x + \sqrt{x^{2} + 8} \geq - 1 \cdot 4$

Schritt 4.3.2.4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.4.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- x + \sqrt{x^{2} + 8} \geq - 4$

Schritt 4.3.2.4.3

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.4.3.1

Addiere $x$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$\sqrt{x^{2} + 8} \geq - 4 + x$

Schritt 4.3.2.4.3.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${\sqrt{x^{2} + 8}}^{2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Schritt 4.3.2.4.3.3

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.4.3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} + 8}$ als ${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Schritt 4.3.2.4.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.4.3.3.2.1

Vereinfache ${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.4.3.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.4.3.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Schritt 4.3.2.4.3.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.4.3.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Schritt 4.3.2.4.3.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x^{2} + 8)}^{1} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Schritt 4.3.2.4.3.3.2.1.2

Vereinfache.

$x^{2} + 8 \geq {(- 4 + x)}^{2}$

Schritt 4.3.2.4.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.4.3.3.3.1

Vereinfache ${(- 4 + x)}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.4.3.3.3.1.1

Schreibe ${(- 4 + x)}^{2}$ als $(- 4 + x) (- 4 + x)$ um.

$x^{2} + 8 \geq (- 4 + x) (- 4 + x)$

Schritt 4.3.2.4.3.3.3.1.2

Multipliziere $(- 4 + x) (- 4 + x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.4.3.3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 8 \geq - 4 (- 4 + x) + x (- 4 + x)$

Schritt 4.3.2.4.3.3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 8 \geq - 4 \cdot - 4 - 4 x + x (- 4 + x)$

Schritt 4.3.2.4.3.3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 8 \geq - 4 \cdot - 4 - 4 x + x \cdot - 4 + x \cdot x$

Schritt 4.3.2.4.3.3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.4.3.3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.4.3.3.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$x^{2} + 8 \geq 16 - 4 x + x \cdot - 4 + x \cdot x$

Schritt 4.3.2.4.3.3.3.1.3.1.2

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} + 8 \geq 16 - 4 x - 4 \cdot x + x \cdot x$

Schritt 4.3.2.4.3.3.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + 8 \geq 16 - 4 x - 4 x + x^{2}$

Schritt 4.3.2.4.3.3.3.1.3.2

Subtrahiere $4 x$ von $- 4 x$ .

$x^{2} + 8 \geq 16 - 8 x + x^{2}$

Schritt 4.3.2.4.3.4

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.4.3.4.1

Stelle so um, dass $x$ auf der linken Seite der Ungleichung steht.

$16 - 8 x + x^{2} \leq x^{2} + 8$

Schritt 4.3.2.4.3.4.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Ungleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.4.3.4.2.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$16 - 8 x + x^{2} - x^{2} \leq 8$

Schritt 4.3.2.4.3.4.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $16 - 8 x + x^{2} - x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.4.3.4.2.2.1

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$16 - 8 x + 0 \leq 8$

Schritt 4.3.2.4.3.4.2.2.2

Addiere $16 - 8 x$ und $0$ .

$16 - 8 x \leq 8$

Schritt 4.3.2.4.3.4.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.4.3.4.3.1

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- 8 x \leq 8 - 16$

Schritt 4.3.2.4.3.4.3.2

Subtrahiere $16$ von $8$ .

$- 8 x \leq - 8$

Schritt 4.3.2.4.3.4.4

Teile jeden Ausdruck in $- 8 x \leq - 8$ durch $- 8$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.4.3.4.4.1

Teile jeden Term in $- 8 x \leq - 8$ durch $- 8$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- 8 x}{- 8} \geq \frac{- 8}{- 8}$

Schritt 4.3.2.4.3.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.4.3.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 8$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.4.3.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 8 x}{- 8} \geq \frac{- 8}{- 8}$

Schritt 4.3.2.4.3.4.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{- 8}{- 8}$

Schritt 4.3.2.4.3.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.2.4.3.4.4.3.1

Dividiere $- 8$ durch $- 8$ .

$x \geq 1$

Schritt 4.3.2.4.4

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 1$

$x > 1$

Schritt 4.3.2.4.5

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.4.5.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.4.5.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 4.3.2.4.5.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{- (0) + \sqrt{{(0)}^{2} + 8}}{4} \geq - 1$

Schritt 4.3.2.4.5.1.3

Die linke Seite $0.70710678$ ist größer als die rechte Seite $- 1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 4.3.2.4.5.2

Teste einen Wert im Intervall $x > 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.4.5.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 4.3.2.4.5.2.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{- (4) + \sqrt{{(4)}^{2} + 8}}{4} \geq - 1$

Schritt 4.3.2.4.5.2.3

Die linke Seite $0.22474487$ ist größer als die rechte Seite $- 1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 4.3.2.4.5.3

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 1$ Wahr

$x > 1$ Wahr

$x < 1$ Wahr

$x > 1$ Wahr

Schritt 4.3.2.4.6

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq 1$ oder $x \geq 1$

Schritt 4.3.2.4.7

Vereine die Intervalle.

Alle reellen Zahlen

Schritt 4.3.2.5

Setze das Argument in $\arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ kleiner oder gleich $1$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck definiert ist.

$\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \leq 1$

Schritt 4.3.2.6

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.6.1

Multipliziere beide Seiten mit $4$ .

$\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \leq 1 \cdot 4$

Schritt 4.3.2.6.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.6.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \leq 1 \cdot 4$

Schritt 4.3.2.6.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$- x + \sqrt{x^{2} + 8} \leq 1 \cdot 4$

Schritt 4.3.2.6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.2.6.2.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$- x + \sqrt{x^{2} + 8} \leq 4$

Schritt 4.3.2.6.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.2.6.3.1

Addiere $x$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$\sqrt{x^{2} + 8} \leq 4 + x$

Schritt 4.3.2.6.3.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${\sqrt{x^{2} + 8}}^{2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Schritt 4.3.2.6.3.3

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 4.3.2.6.3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} + 8}$ als ${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Schritt 4.3.2.6.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.6.3.3.2.1

Vereinfache ${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.3.2.6.3.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.3.2.6.3.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Schritt 4.3.2.6.3.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.2.6.3.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(4 + x)}^{2}$

Schritt 4.3.2.6.3.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x^{2} + 8)}^{1} \leq {(4 + x)}^{2}$

Schritt 4.3.2.6.3.3.2.1.2

Vereinfache.

$x^{2} + 8 \leq {(4 + x)}^{2}$

Schritt 4.3.2.6.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.2.6.3.3.3.1

Vereinfache ${(4 + x)}^{2}$ .

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Schritt 4.3.2.6.3.3.3.1.1

Schreibe ${(4 + x)}^{2}$ als $(4 + x) (4 + x)$ um.

$x^{2} + 8 \leq (4 + x) (4 + x)$

Schritt 4.3.2.6.3.3.3.1.2

Multipliziere $(4 + x) (4 + x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.3.2.6.3.3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 8 \leq 4 (4 + x) + x (4 + x)$

Schritt 4.3.2.6.3.3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 8 \leq 4 \cdot 4 + 4 x + x (4 + x)$

Schritt 4.3.2.6.3.3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 8 \leq 4 \cdot 4 + 4 x + x \cdot 4 + x \cdot x$

Schritt 4.3.2.6.3.3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.3.2.6.3.3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.2.6.3.3.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$x^{2} + 8 \leq 16 + 4 x + x \cdot 4 + x \cdot x$

Schritt 4.3.2.6.3.3.3.1.3.1.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} + 8 \leq 16 + 4 x + 4 \cdot x + x \cdot x$

Schritt 4.3.2.6.3.3.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + 8 \leq 16 + 4 x + 4 x + x^{2}$

Schritt 4.3.2.6.3.3.3.1.3.2

Addiere $4 x$ und $4 x$ .

$x^{2} + 8 \leq 16 + 8 x + x^{2}$

Schritt 4.3.2.6.3.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.2.6.3.4.1

Stelle so um, dass $x$ auf der linken Seite der Ungleichung steht.

$16 + 8 x + x^{2} \geq x^{2} + 8$

Schritt 4.3.2.6.3.4.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Ungleichung.

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Schritt 4.3.2.6.3.4.2.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$16 + 8 x + x^{2} - x^{2} \geq 8$

Schritt 4.3.2.6.3.4.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $16 + 8 x + x^{2} - x^{2}$ .

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Schritt 4.3.2.6.3.4.2.2.1

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$16 + 8 x + 0 \geq 8$

Schritt 4.3.2.6.3.4.2.2.2

Addiere $16 + 8 x$ und $0$ .

$16 + 8 x \geq 8$

Schritt 4.3.2.6.3.4.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 4.3.2.6.3.4.3.1

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$8 x \geq 8 - 16$

Schritt 4.3.2.6.3.4.3.2

Subtrahiere $16$ von $8$ .

$8 x \geq - 8$

Schritt 4.3.2.6.3.4.4

Teile jeden Ausdruck in $8 x \geq - 8$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.2.6.3.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $8 x \geq - 8$ durch $8$ .

$\frac{8 x}{8} \geq \frac{- 8}{8}$

Schritt 4.3.2.6.3.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.6.3.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 4.3.2.6.3.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 x}{8} \geq \frac{- 8}{8}$

Schritt 4.3.2.6.3.4.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{- 8}{8}$

Schritt 4.3.2.6.3.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.2.6.3.4.4.3.1

Dividiere $- 8$ durch $8$ .

$x \geq - 1$

Schritt 4.3.2.7

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[- 1, \infty)$

Schritt 4.3.3

Finde die Union (Vereinigung) von $(- \infty, 1], [- 1, \infty)$ .

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Schritt 4.3.3.1

Die Vereinigungsmenge besteht aus allen Elementen, die in jedem Intervall enthalten sind.

$(- \infty, \infty)$

Schritt 4.4

Da die Definitionsbereich von $f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}), \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ nicht gleich dem Wertebereich von $f (x) = \frac{\cos (2 x)}{\sin (x)}$ ist, ist $f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}), \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ keine inverse Funktion von $f (x) = \frac{\cos (2 x)}{\sin (x)}$ .

Es gibt keine Inverse (Umkehrfunktion)

Schritt 5