Trigonometrie Beispiele

$\frac{2 \sin (y)}{\sin (2 y)} + \frac{1}{\cos (y)}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\frac{2 \sin (y)}{\sin (2 y)} + \frac{1}{\cos (y)} = x$ um.

$\frac{2 \sin (y)}{\sin (2 y)} + \frac{1}{\cos (y)} = x$

Schritt 2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\frac{2 \sin (y)}{\sin (2 y)} + \frac{1}{\cos (y)}$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$\frac{2 \sin (y)}{2 \sin (y) \cos (y)} + \frac{1}{\cos (y)} = x$

Schritt 2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sin (y)}{2 \sin (y) \cos (y)} + \frac{1}{\cos (y)} = x$

Schritt 2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sin (y)}{\sin (y) \cos (y)} + \frac{1}{\cos (y)} = x$

Schritt 2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (y)$ .

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Schritt 2.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (y)}{\sin (y) \cos (y)} + \frac{1}{\cos (y)} = x$

Schritt 2.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\cos (y)} + \frac{1}{\cos (y)} = x$

Schritt 2.1.1.4

Wandle von $\frac{1}{\cos (y)}$ nach $\sec (y)$ um.

$\sec (y) + \frac{1}{\cos (y)} = x$

Schritt 2.1.1.5

Wandle von $\frac{1}{\cos (y)}$ nach $\sec (y)$ um.

$\sec (y) + \sec (y) = x$

Schritt 2.1.2

Addiere $\sec (y)$ und $\sec (y)$ .

$2 \sec (y) = x$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $2 \sec (y) = x$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \sec (y) = x$ durch $2$ .

$\frac{2 \sec (y)}{2} = \frac{x}{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sec (y)}{2} = \frac{x}{2}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $\sec (y)$ durch $1$ .

$\sec (y) = \frac{x}{2}$

Schritt 4

Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um $y$ aus dem Sekans zu ziehen.

$y = arcsec (\frac{x}{2})$

Schritt 5

Vertausche die Variablen.

$x = arcsec (\frac{y}{2})$

Schritt 6

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $arcsec (\frac{y}{2}) = x$ um.

$arcsec (\frac{y}{2}) = x$

Schritt 6.2

Wende den inversen Arkussekans auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Arkussekans zu ziehen.

$\frac{y}{2} = \sec (x)$

Schritt 6.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 \sec (x)$

Schritt 6.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{y}{2} = 2 \sec (x)$

Schritt 6.4.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 2 \sec (x)$

Schritt 7

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 2 \sec (x)$

Schritt 8

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 2 \sec (x)$ die Umkehrfunktion von $f (x) = arcsec (\frac{x}{2})$ ist.

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Schritt 8.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 8.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 8.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 8.2.2

Berechne $f^{- 1} (arcsec (\frac{x}{2}))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (arcsec (\frac{x}{2})) = 2 \sec (arcsec (\frac{x}{2}))$

Schritt 8.2.3

Die Funktionen Sekans und Arkussekans sind Inverse.

$f^{- 1} (arcsec (\frac{x}{2})) = 2 (\frac{x}{2})$

Schritt 8.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (arcsec (\frac{x}{2})) = 2 (\frac{x}{2})$

Schritt 8.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (arcsec (\frac{x}{2})) = x$

Schritt 8.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 8.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 8.3.2

Berechne $f (2 \sec (x))$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (2 \sec (x)) = arcsec (\frac{2 \sec (x)}{2})$

Schritt 8.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (2 \sec (x)) = arcsec (\frac{2 \sec (x)}{2})$

Schritt 8.3.3.2

Dividiere $\sec (x)$ durch $1$ .

$f (2 \sec (x)) = arcsec (\sec (x))$

Schritt 8.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 2 \sec (x)$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = arcsec (\frac{x}{2})$ .

$f^{- 1} (x) = 2 \sec (x)$