Trigonometrie Beispiele

$\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{2}{3} y - \frac{1}{2}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{2}{3} y - \frac{1}{2} = x$ um.

$\frac{2}{3} y - \frac{1}{2} = x$

Schritt 2.2

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $y$ .

$\frac{2 y}{3} - \frac{1}{2} = x$

Schritt 2.3

Addiere $\frac{1}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{2 y}{3} = x + \frac{1}{2}$

Schritt 2.4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 y}{3} = \frac{3}{2} (x + \frac{1}{2})$

Schritt 2.5

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.1.1

Vereinfache $\frac{3}{2} \cdot \frac{2 y}{3}$ .

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Schritt 2.5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.5.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 y}{3} = \frac{3}{2} (x + \frac{1}{2})$

Schritt 2.5.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (2 y) = \frac{3}{2} (x + \frac{1}{2})$

Schritt 2.5.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y$ heraus.

$\frac{1}{2} (2 (y)) = \frac{3}{2} (x + \frac{1}{2})$

Schritt 2.5.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (2 y) = \frac{3}{2} (x + \frac{1}{2})$

Schritt 2.5.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{3}{2} (x + \frac{1}{2})$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.1

Vereinfache $\frac{3}{2} (x + \frac{1}{2})$ .

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Schritt 2.5.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{3}{2} x + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 2.5.2.1.2

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 2.5.2.1.3

Multipliziere $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 2.5.2.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.5.2.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{4}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{4}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{4}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{2}{3} x - \frac{1}{2}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) = \frac{3 (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2})}{2} + \frac{3}{4}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.1.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) = \frac{3 (\frac{2 x}{3} - \frac{1}{2})}{2} + \frac{3}{4}$

Schritt 4.2.3.1.2

Um $\frac{2 x}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) = \frac{3 (\frac{2 x}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})}{2} + \frac{3}{4}$

Schritt 4.2.3.1.3

Um $- \frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) = \frac{3 (\frac{2 x}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3})}{2} + \frac{3}{4}$

Schritt 4.2.3.1.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.2.3.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{2 x}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) = \frac{3 (\frac{2 x \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3})}{2} + \frac{3}{4}$

Schritt 4.2.3.1.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) = \frac{3 (\frac{2 x \cdot 2}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3})}{2} + \frac{3}{4}$

Schritt 4.2.3.1.4.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) = \frac{3 (\frac{2 x \cdot 2}{6} - \frac{3}{2 \cdot 3})}{2} + \frac{3}{4}$

Schritt 4.2.3.1.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) = \frac{3 (\frac{2 x \cdot 2}{6} - \frac{3}{6})}{2} + \frac{3}{4}$

Schritt 4.2.3.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) = \frac{3 (\frac{2 x \cdot 2 - 3}{6})}{2} + \frac{3}{4}$

Schritt 4.2.3.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) = \frac{3 (\frac{4 x - 3}{6})}{2} + \frac{3}{4}$

Schritt 4.2.3.2

Kombiniere $3$ und $\frac{4 x - 3}{6}$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) = \frac{\frac{3 (4 x - 3)}{6}}{2} + \frac{3}{4}$

Schritt 4.2.3.3

Vereinfache den Ausdruck $\frac{3 (4 x - 3)}{6}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.3.3.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) = \frac{\frac{3 (4 x - 3)}{3 \cdot 2}}{2} + \frac{3}{4}$

Schritt 4.2.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) = \frac{\frac{3 (4 x - 3)}{3 \cdot 2}}{2} + \frac{3}{4}$

Schritt 4.2.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) = \frac{\frac{4 x - 3}{2}}{2} + \frac{3}{4}$

Schritt 4.2.3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) = \frac{4 x - 3}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{4}$

Schritt 4.2.3.5

Multipliziere $\frac{4 x - 3}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 4.2.3.5.1

Mutltipliziere $\frac{4 x - 3}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) = \frac{4 x - 3}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4}$

Schritt 4.2.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) = \frac{4 x - 3}{4} + \frac{3}{4}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.2.4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) = \frac{4 x - 3 + 3}{4}$

Schritt 4.2.4.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 x - 3 + 3$ .

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Schritt 4.2.4.2.1

Addiere $- 3$ und $3$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) = \frac{4 x + 0}{4}$

Schritt 4.2.4.2.2

Addiere $4 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) = \frac{4 x}{4}$

Schritt 4.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.2.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) = \frac{4 x}{4}$

Schritt 4.2.4.3.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x - \frac{1}{2}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{4})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{4}) = \frac{2}{3} \cdot (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{4}) - \frac{1}{2}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{4}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2} + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} - \frac{1}{2}$

Schritt 4.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{4}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2} + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} - \frac{1}{2}$

Schritt 4.3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{4}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x) + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} - \frac{1}{2}$

Schritt 4.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.3.3.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{4}) = \frac{1}{3} \cdot (3 (x)) + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} - \frac{1}{2}$

Schritt 4.3.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{4}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x) + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} - \frac{1}{2}$

Schritt 4.3.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{4}) = x + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} - \frac{1}{2}$

Schritt 4.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{4}) = x + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2 (2)} - \frac{1}{2}$

Schritt 4.3.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{4}) = x + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2}$

Schritt 4.3.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{4}) = x + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 4.3.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{4}) = x + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 4.3.3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{4}) = x + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 4.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$ .

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Schritt 4.3.4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{4}) = x + \frac{1 - 1}{2}$

Schritt 4.3.4.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{4}) = x + \frac{0}{2}$

Schritt 4.3.4.3

Dividiere $0$ durch $2$ .

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{4}) = x + 0$

Schritt 4.3.4.4

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{4}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{4}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{2}{3} x - \frac{1}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{4}$