Trigonometrie Beispiele

$\frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)} = x$ um.

$\frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)} = x$

Schritt 2.2

Multipliziere beide Seiten mit $1 + \cot (y)$ .

$\frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)} (1 + \cot (y)) = x (1 + \cot (y))$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1.1

Vereinfache $\frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)} (1 + \cot (y))$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + \cot (y)$ .

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Schritt 2.3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)} (1 + \cot (y)) = x (1 + \cot (y))$

Schritt 2.3.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 - \cot (- y) = x (1 + \cot (y))$

Schritt 2.3.1.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1.2.1

Da $\cot (- y)$ eine ungerade Funktion ist, schreibe $\cot (- y)$ als $- \cot (y)$ .

$1 - - \cot (y) = x (1 + \cot (y))$

Schritt 2.3.1.1.2.2

Multipliziere $- - \cot (y)$ .

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Schritt 2.3.1.1.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 + 1 \cot (y) = x (1 + \cot (y))$

Schritt 2.3.1.1.2.2.2

Mutltipliziere $\cot (y)$ mit $1$ .

$1 + \cot (y) = x (1 + \cot (y))$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache $x (1 + \cot (y))$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 + \cot (y) = x \cdot 1 + x \cot (y)$

Schritt 2.3.2.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$1 + \cot (y) = x + x \cot (y)$

Schritt 2.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.4.1

Ersetze $\cot (y)$ durch $u$ .

$1 + u = x + x (u)$

Schritt 2.4.2

Subtrahiere $x u$ von beiden Seiten der Gleichung.

$1 + u - x u = x$

Schritt 2.4.3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u - x u = x - 1$

Schritt 2.4.4

Faktorisiere $u$ aus $u - x u$ heraus.

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Schritt 2.4.4.1

Faktorisiere $u$ aus $u^{1}$ heraus.

$u \cdot 1 - x u = x - 1$

Schritt 2.4.4.2

Faktorisiere $u$ aus $- x u$ heraus.

$u \cdot 1 + u (- x) = x - 1$

Schritt 2.4.4.3

Faktorisiere $u$ aus $u \cdot 1 + u (- x)$ heraus.

$u (1 - x) = x - 1$

Schritt 2.4.5

Teile jeden Ausdruck in $u (1 - x) = x - 1$ durch $1 - x$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.5.1

Teile jeden Ausdruck in $u (1 - x) = x - 1$ durch $1 - x$ .

$\frac{u (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x}$

Schritt 2.4.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - x$ .

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Schritt 2.4.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{u (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x}$

Schritt 2.4.5.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{x}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x}$

Schritt 2.4.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.5.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$u = \frac{x - 1}{1 - x}$

Schritt 2.4.5.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x - 1$ und $1 - x$ .

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Schritt 2.4.5.3.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$u = \frac{- 1 (- x) - 1}{1 - x}$

Schritt 2.4.5.3.2.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$u = \frac{- 1 (- x) - 1 (1)}{1 - x}$

Schritt 2.4.5.3.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- x) - 1 (1)$ heraus.

$u = \frac{- 1 (- x + 1)}{1 - x}$

Schritt 2.4.5.3.2.4

Stelle die Terme um.

$u = \frac{- 1 (- x + 1)}{- x + 1}$

Schritt 2.4.5.3.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u = \frac{- 1 (- x + 1)}{- x + 1}$

Schritt 2.4.5.3.2.6

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$u = - 1$

Schritt 2.4.6

Ersetze $u$ durch $\cot (y)$ .

$\cot (y) = - 1$

Schritt 2.4.7

Wende den inversen Kotangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Kotangens herauszuziehen.

$y = arccot (- 1)$

Schritt 2.4.8

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.8.1

Der genau Wert von $arccot (- 1)$ ist $\frac{3 π}{4}$ .

$y = \frac{3 π}{4}$

Schritt 2.4.9

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$y = \frac{3 π}{4} - π$

Schritt 2.4.10

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 2.4.10.1

Addiere $2 π$ zu $\frac{3 π}{4} - π$ .

$y = \frac{3 π}{4} - π + 2 π$

Schritt 2.4.10.2

Der resultierende Winkel von $\frac{7 π}{4}$ ist positiv und gleich $\frac{3 π}{4} - π$ .

$y = \frac{7 π}{4}$

Schritt 2.4.11

Ermittele die Periode von $\cot (y)$ .

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Schritt 2.4.11.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 2.4.11.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 2.4.11.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 2.4.11.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 2.4.12

Die Periode der Funktion $\cot (y)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$y = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 2.5

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$y = \frac{3 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)}) = \frac{3 π}{4} + π n$

Schritt 4.2.3

Stelle $\frac{3 π}{4}$ und $π n$ um.

$f^{- 1} (\frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)}) = π n + \frac{3 π}{4}$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{3 π}{4} + π n)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{3 π}{4} + π n) = \frac{1 - \cot (- (\frac{3 π}{4} + π n))}{1 + \cot (\frac{3 π}{4} + π n)}$

Schritt 4.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{3 π}{4} + π n) = \frac{1 - \cot (- \frac{3 π}{4} - π n)}{1 + \cot (\frac{3 π}{4} + π n)}$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n$