Trigonometrie Beispiele

\frac{1 - cot (- x)}{1 + cot (x)}

$\frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

x = \frac{1 - cot (- y)}{1 + cot (y)}

$x = \frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)}$

Schritt 2

Löse nach

y

$y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als

\frac{1 - cot (- y)}{1 + cot (y)} = x

$\frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)} = x$ um.

\frac{1 - cot (- y)}{1 + cot (y)} = x

$\frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)} = x$

Schritt 2.2

Multipliziere beide Seiten mit

1 + cot (y)

$1 + \cot (y)$ .

\frac{1 - cot (- y)}{1 + cot (y)} (1 + cot (y)) = x (1 + cot (y))

$\frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)} (1 + \cot (y)) = x (1 + \cot (y))$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1.1

Vereinfache

\frac{1 - cot (- y)}{1 + cot (y)} (1 + cot (y))

$\frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)} (1 + \cot (y))$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

1 + cot (y)

$1 + \cot (y)$ .

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Schritt 2.3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)} (1 + \cot (y)) = x (1 + \cot (y))$

Schritt 2.3.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 - \cot (- y) = x (1 + \cot (y))$

Schritt 2.3.1.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1.2.1

$\cot (- y)$ eine ungerade Funktion ist, schreibe

$\cot (- y)$ als

$- \cot (y)$ .

$1 - - \cot (y) = x (1 + \cot (y))$

Schritt 2.3.1.1.2.2

Multipliziere

$- - \cot (y)$ .

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Schritt 2.3.1.1.2.2.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 1$ .

$1 + 1 \cot (y) = x (1 + \cot (y))$

Schritt 2.3.1.1.2.2.2

Mutltipliziere

$\cot (y)$ mit

$1$ .

$1 + \cot (y) = x (1 + \cot (y))$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache

$x (1 + \cot (y))$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 + \cot (y) = x \cdot 1 + x \cot (y)$

Schritt 2.3.2.1.2

Mutltipliziere

$x$ mit

$1$ .

$1 + \cot (y) = x + x \cot (y)$

Schritt 2.4

Löse nach

$y$ auf.

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Schritt 2.4.1

Ersetze

$\cot (y)$ durch

$u$ .

$1 + u = x + x (u)$

Schritt 2.4.2

Subtrahiere

$x u$ von beiden Seiten der Gleichung.

$1 + u - x u = x$

Schritt 2.4.3

Subtrahiere

$1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u - x u = x - 1$

Schritt 2.4.4

Faktorisiere

$u$ aus

$u - x u$ heraus.

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Schritt 2.4.4.1

Faktorisiere

$u$ aus

$u^{1}$ heraus.

$u \cdot 1 - x u = x - 1$

Schritt 2.4.4.2

Faktorisiere

$u$ aus

$- x u$ heraus.

$u \cdot 1 + u (- x) = x - 1$

Schritt 2.4.4.3

Faktorisiere

$u$ aus

$u \cdot 1 + u (- x)$ heraus.

$u (1 - x) = x - 1$

Schritt 2.4.5

Teile jeden Ausdruck in

$u (1 - x) = x - 1$ durch

$1 - x$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.5.1

Teile jeden Ausdruck in

$u (1 - x) = x - 1$ durch

$1 - x$ .

$\frac{u (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x}$

Schritt 2.4.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$1 - x$ .

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Schritt 2.4.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{u (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x}$

Schritt 2.4.5.2.1.2

Dividiere

$u$ durch

$1$ .

$u = \frac{x}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x}$

Schritt 2.4.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.5.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$u = \frac{x - 1}{1 - x}$

Schritt 2.4.5.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von

$x - 1$ und

$1 - x$ .

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Schritt 2.4.5.3.2.1

Faktorisiere

$- 1$ aus

$x$ heraus.

$u = \frac{- 1 (- x) - 1}{1 - x}$

Schritt 2.4.5.3.2.2

Schreibe

$- 1$ als

$- 1 (1)$ um.

$u = \frac{- 1 (- x) - 1 (1)}{1 - x}$

Schritt 2.4.5.3.2.3

Faktorisiere

$- 1$ aus

$- 1 (- x) - 1 (1)$ heraus.

$u = \frac{- 1 (- x + 1)}{1 - x}$

Schritt 2.4.5.3.2.4

Stelle die Terme um.

$u = \frac{- 1 (- x + 1)}{- x + 1}$

Schritt 2.4.5.3.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u = \frac{- 1 (- x + 1)}{- x + 1}$

Schritt 2.4.5.3.2.6

Dividiere

$- 1$ durch

$1$ .

$u = - 1$

Schritt 2.4.6

Ersetze

$u$ durch

$\cot (y)$ .

$\cot (y) = - 1$

Schritt 2.4.7

Wende den inversen Kotangens auf beide Seiten der Gleichung an, um

$y$ aus dem Kotangens herauszuziehen.

$y = arccot (- 1)$

Schritt 2.4.8

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.8.1

Der genau Wert von

$arccot (- 1)$ ist

$\frac{3 π}{4}$ .

$y = \frac{3 π}{4}$

Schritt 2.4.9

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from

$π$ to find the solution in the third quadrant.

$y = \frac{3 π}{4} - π$

Schritt 2.4.10

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 2.4.10.1

Addiere

$2 π$ zu

$\frac{3 π}{4} - π$ .

$y = \frac{3 π}{4} - π + 2 π$

Schritt 2.4.10.2

Der resultierende Winkel von

$\frac{7 π}{4}$ ist positiv und gleich

$\frac{3 π}{4} - π$ .

$y = \frac{7 π}{4}$

Schritt 2.4.11

Ermittele die Periode von

$\cot (y)$ .

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Schritt 2.4.11.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von

$\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 2.4.11.2

Ersetze

$b$ durch

$1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 2.4.11.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen

$0$ und

$1$ ist

$1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 2.4.11.4

Dividiere

$π$ durch

$1$ .

$π$

Schritt 2.4.12

Die Periode der Funktion

$\cot (y)$ ist

$π$ , d. h., Werte werden sich alle

$π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$y = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl

$n$

$y = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl

$n$

Schritt 2.5

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$y = \frac{3 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl

$n$

$y = \frac{3 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl

$n$

Schritt 3

Replace

$y$ with

$f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n$

Schritt 4

Überprüfe, ob

$f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n$ die Umkehrfunktion von

$f (x) = \frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob

$f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und

$f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne

$f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne

$f^{- 1} (\frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)})$ durch Einsetzen des Wertes von

$f$ in

$f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)}) = \frac{3 π}{4} + π n$

Schritt 4.2.3

Stelle

$\frac{3 π}{4}$ und

$π n$ um.

$f^{- 1} (\frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)}) = π n + \frac{3 π}{4}$

Schritt 4.3

Berechne

$f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne

$f (\frac{3 π}{4} + π n)$ durch Einsetzen des Wertes von

$f^{- 1}$ in

$f$ .

$f (\frac{3 π}{4} + π n) = \frac{1 - \cot (- (\frac{3 π}{4} + π n))}{1 + \cot (\frac{3 π}{4} + π n)}$

Schritt 4.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{3 π}{4} + π n) = \frac{1 - \cot (- \frac{3 π}{4} - π n)}{1 + \cot (\frac{3 π}{4} + π n)}$

Schritt 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ und

$f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist

$f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von

$f (x) = \frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n$