Trigonometrie Beispiele

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{1}{x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{y} = 1 - \frac{1}{x}$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y, 1, x$

Schritt 2.2

Since $y, 1, x$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $y^{1}, x^{1}$ .

Schritt 2.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 2.4

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 2.5

Das kgV von $1, 1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$1$

Schritt 2.6

Der Teiler von $y^{1}$ ist $y$ selbst.

$y^{1} = y$

$y$ occurs $1$ time.

Schritt 2.7

Der Teiler von $x^{1}$ ist $x$ selbst.

$x^{1} = x$

$x$ occurs $1$ time.

Schritt 2.8

Das kgV von $y^{1}, x^{1}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$y \cdot x$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $y$ mit $x$ .

$y x$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{y} = 1 - \frac{1}{x}$ mit $y x$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{y} = 1 - \frac{1}{x}$ mit $y x$ .

$\frac{1}{y} (y x) = 1 (y x) - \frac{1}{x} (y x)$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.2.1.1

Faktorisiere $y$ aus $y x$ heraus.

$\frac{1}{y} (y (x)) = 1 (y x) - \frac{1}{x} (y x)$

Schritt 3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} (y x) = 1 (y x) - \frac{1}{x} (y x)$

Schritt 3.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x = 1 (y x) - \frac{1}{x} (y x)$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Mutltipliziere $y x$ mit $1$ .

$x = y x - \frac{1}{x} (y x)$

Schritt 3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.3.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x}$ in den Zähler.

$x = y x + \frac{- 1}{x} (y x)$

Schritt 3.3.1.2.2

Faktorisiere $x$ aus $y x$ heraus.

$x = y x + \frac{- 1}{x} (x y)$

Schritt 3.3.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = y x + \frac{- 1}{x} (x y)$

Schritt 3.3.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$x = y x - y$

Schritt 4

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $y x - y = x$ um.

$y x - y = x$

Schritt 4.2

Faktorisiere $y$ aus $y x - y$ heraus.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $y$ aus $y x$ heraus.

$y (x) - y = x$

Schritt 4.2.2

Faktorisiere $y$ aus $- y$ heraus.

$y (x) + y \cdot - 1 = x$

Schritt 4.2.3

Faktorisiere $y$ aus $y (x) + y \cdot - 1$ heraus.

$y (x - 1) = x$

Schritt 4.3

Teile jeden Ausdruck in $y (x - 1) = x$ durch $x - 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y (x - 1) = x$ durch $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

Schritt 4.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x}{x - 1}$

Schritt 5

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{y}{y - 1}$

Schritt 6

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 6.1

Multipliziere die Gleichung mit $y - 1$ .

$(y - 1) (x) = (\frac{y}{y - 1}) (y - 1)$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache $(y - 1) (x)$ .

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Schritt 6.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y x - 1 x = (\frac{y}{y - 1}) (y - 1)$

Schritt 6.2.1.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$y x - x = (\frac{y}{y - 1}) (y - 1)$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 1$ .

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Schritt 6.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y x - x = \frac{y}{y - 1} (y - 1)$

Schritt 6.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y x - x = y$

Schritt 6.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 6.4.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y x - x - y = 0$

Schritt 6.4.2

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y x - y = x$

Schritt 6.4.3

Faktorisiere $y$ aus $y x - y$ heraus.

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Schritt 6.4.3.1

Faktorisiere $y$ aus $y x$ heraus.

$y (x) - y = x$

Schritt 6.4.3.2

Faktorisiere $y$ aus $- y$ heraus.

$y (x) + y \cdot - 1 = x$

Schritt 6.4.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y (x) + y \cdot - 1$ heraus.

$y (x - 1) = x$

Schritt 6.4.4

Teile jeden Ausdruck in $y (x - 1) = x$ durch $x - 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y (x - 1) = x$ durch $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

Schritt 6.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 6.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

Schritt 6.4.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x}{x - 1}$

Schritt 7

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$

Schritt 8

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{x}{x - 1}$ ist.

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Schritt 8.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 8.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 8.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 8.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{x}{x - 1})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{\frac{x}{x - 1}}{(\frac{x}{x - 1}) - 1}$

Schritt 8.2.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1}$

Schritt 8.2.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.4.1

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1 \cdot \frac{x - 1}{x - 1}}$

Schritt 8.2.4.2

Kombiniere $- 1$ und $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} + \frac{- (x - 1)}{x - 1}}$

Schritt 8.2.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - (x - 1)}{x - 1}}$

Schritt 8.2.4.4

Schreibe $\frac{x - (x - 1)}{x - 1}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 8.2.4.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

Schritt 8.2.4.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

Schritt 8.2.4.4.3

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{x - 1}}$

Schritt 8.2.4.4.4

Addiere $0$ und $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{x - 1}}$

Schritt 8.2.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot (1 (x - 1))$

Schritt 8.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 8.2.6.1

Faktorisiere $x - 1$ aus $1 (x - 1)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

Schritt 8.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

Schritt 8.2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = x$

Schritt 8.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 8.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 8.3.2

Berechne $f (\frac{x}{x - 1})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{\frac{x}{x - 1}}{(\frac{x}{x - 1}) - 1}$

Schritt 8.3.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1}$

Schritt 8.3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.3.4.1

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1 \cdot \frac{x - 1}{x - 1}}$

Schritt 8.3.4.2

Kombiniere $- 1$ und $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} + \frac{- (x - 1)}{x - 1}}$

Schritt 8.3.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - (x - 1)}{x - 1}}$

Schritt 8.3.4.4

Schreibe $\frac{x - (x - 1)}{x - 1}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 8.3.4.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

Schritt 8.3.4.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

Schritt 8.3.4.4.3

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{x - 1}}$

Schritt 8.3.4.4.4

Addiere $0$ und $1$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{x - 1}}$

Schritt 8.3.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot (1 (x - 1))$

Schritt 8.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 8.3.6.1

Faktorisiere $x - 1$ aus $1 (x - 1)$ heraus.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

Schritt 8.3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

Schritt 8.3.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x}{x - 1}) = x$

Schritt 8.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{x}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$